Más Económica Descripción de Dos Líneas en $\mathbb{P}^{3}$

Question

Tengo dos líneas de $L_{1}$$L_{2}$$\mathbb{P}^{3}$, y en un caso en que se cruzan mientras que en el otro están los temblores. Estoy con ganas de hacer un cálculo que implica la escritura de ellos explícitamente en las coordenadas y estoy esperando para el uso de las transformaciones lineales para describir las dos líneas tan económicamente como sea posible. Tengo una idea que estaba esperando que alguien puede criticar o corregir!

Deje $(x_{0}:x_{1}:x_{2}:x_{3})$ coordenadas en $\mathbb{P}^{3}$. Ahora, se pueden utilizar los automorfismos de a $\mathbb{P}^{3}$, es decir,$\rm{PGL}_{4}(\mathbb{C})$, para describir una de las dos líneas como

$$L_{1}: \{x_{2}=0, x_{3}=0\}.$$

Ahora, en general, la segunda línea será la de completar la intersección de dos hyperplanes como $a_{0}x_{0}+a_{1}x_{1}+a_{2}x_{2}+a_{3}x_{3}=0$$b_{0}x_{0}+b_{1}x_{1}+b_{2}x_{2}+b_{3}x_{3}=0$. Idealmente, me gustaría hacer estas mucho más simple si es posible!

Mi idea es que quizá $\rm{PGL}_{4}(\mathbb{C})$ contiene un subgrupo como $\rm{PGL}_{2}(\mathbb{C})$ que, en realidad, de las correcciones de la primera línea de $L_{1}$. Entonces, tal vez puedo usar este subgrupo a hacer al menos algunas de las $a_{i}$ $b_{i}$ cero. Por ejemplo, creo que debería al menos ser capaz de hacer $L_{2}$ ser dado por $\{x_{1}=0\}$ más otro hyperplane de fuga.

Así que mi pregunta es, ¿puede este hecho se puede hacer, y tal vez incluso puede ser hecho mejor que he descrito anteriormente? ¿Las dos líneas que se intersecan o no juega ningún papel en esta simplificación? Mi principal preocupación es que yo sepa mucho de intuición que proviene de tres(real) dimensiones es completamente "accidental" así que tal vez en cuatro dimensiones ($\mathbb{P}^{3} = \mathbb{P}(\mathbb{C}^{4})$), no se puede hacer sentido de una rotación alrededor de un plano fijo, dejando que el plano fijo.

Answer 1

La forma más sencilla de describir una línea de $l\subset \mathbb P^3$ en el problema en cuestión es para darle dos puntos distintos, decir $a=(a_0:a_1:a_2:a_3)$$b=(b_0:b_1:b_2:b_3)$.
Si usted tiene una segunda línea de $m$ unirse a $c=(c_0:c_1:c_2:c_3)$ $d=(d_0:d_1:d_2:d_3)$la condición de que las líneas de $l,m$ cumplir (es decir, no son skew) es simplemente $$\det [a^T b^T c^T d^T]=0$$ where you take the determinant of the matrix whose columns are obtained by transposing the four vectors $a,b,c,d$.

Answer 2

Sí. Una manera simple de hacer esto equivale a la elección de una base para la $\mathbb{C}^4$.

Caso 1: Usted tiene dos líneas oblicuas $L_1, L_2$. La primera línea se extendió por $p_1, p_2$ y el segundo por $p_3, p_4$. Estos dan una base para la $\mathbb{C}^4$, en relación a que las líneas son

$$L_1 = [* : * : 0 : 0], \qquad L_2 = [0 : 0 : * : *].$$

Caso 2: Usted tiene dos líneas que se intersectan. Deje que el punto de intersección ser $p$. Pick $q_1, q_2$, de modo que $L_i$ es distribuido por $p,q_i$. Por último, recoger algunas último punto de $r$ no en el plano generado por $L_1,L_2$.

En base a $p,q_1,q_2,r$, las dos líneas son:

$$L_1 = [* : * : 0 : 0], \qquad L_2 = [* : 0 : * : 0].$$

Answer 3

Una forma útil de pensar acerca de estas preguntas es para reinterpretar en términos de álgebra lineal. $\mathbb{P}^3$ $\mathbb{C}^4 - 0$ modulo de escala, por lo que un punto en $\mathbb{P}^3$ corresponde a una línea que pasa por el origen en $\mathbb{C}^4$, y una línea en $\mathbb{P}^3$ corresponde a un subespacio de dos dimensiones de $\mathbb{C}^4$.

Una forma alternativa de expresar su conclusión "podemos ciertamente el uso de los automorfismos de a $\mathbb{P}^3$, es decir,$\text{PGL}_4(\mathbb{C})$, para describir una de las dos líneas en $L_1: \{x_2 = 0,\text{ } x_3 = 0\}$" es que para cualquiera de las dos dimensiones subespacio de $\mathbb{C}^4$, se puede elegir una base $\{v_i\}$ de manera tal que el subespacio es $\text{span}(v_0, v_1)$ es que el subespacio. Actuando por $\text{GL}_4(\mathbb{C})$ corresponde a la evolución de la base.

Si usted tiene dos de dos dimensiones de los subespacios de $\mathbb{C}^4$ que se cruzan sólo en $0$, se puede elegir una base $\{v_i\}$ de manera tal que el primero es $\text{span}(v_0,v_1)$ y el segundo es $\text{span}(v_2,v_3)$. A continuación, sus líneas en $\mathbb{P}^3$ se dan por $x_0=x_1 =0$ y $x_2 = x_3 =0$. Este es el caso de las líneas oblicuas.

Usted puede tratar los casos donde las líneas se cruzan de manera similar.

Sus pensamientos acerca de mirar el subgrupo que corrige una línea es también una fructífera vía para presentar. Subgrupos de $\text{GL}_n$ que arreglar un subespacio son ejemplos de parabólica subgrupos, que son conjugado a los elementos de $\text{GL}_n$ que son bloque triangular superior. La gente suele pensar parabólico subgrupos de acuerdo a su pensamiento sobre la acción de los $\text{GL}_n$$\mathbb{C}^n$, similar a la idea que he descrito anteriormente.

Es posible que desee buscar lo que una bandera es. Una parabólica subgrupo de $\text{GL}_n(\mathbb{C})$ es el estabilizador de una bandera.