¿Por qué el cuadrado de la ecuación trigonométrica de los cambios de la solución?

Question

Tengo una ecuación trigonométrica que se define como:

$\sin(\alpha) - \cos(\alpha) = \frac{1}{2}$

La solución de esta ecuación por mathematica producirá $\alpha = 65.70 $ $\alpha = -155.705 $

Pero Como puedo resolverlo analíticamente, voy a obtener resultados diferentes:

En primer lugar me exponentiate ambos lados a la potencia de dos:

$(\sin(\alpha) - \cos(\alpha))^2 = \frac{1}{2}^2$

Ahora que ampliar las expresiones:

$\sin(\alpha)^2 - 2 \sin(\alpha) \cos(\alpha) + \cos(\alpha)^2 = \frac{1}{4}$

Como $\sin(\alpha)^2 + \cos(\alpha)^2 = 1$, voy a tener:

$1 - 2 \sin(\alpha) \cos(\alpha) = \frac{1}{4}$

De nuevo, si pongo $2 \sin(\alpha) \cos(\alpha) = \sin(2\alpha)$ me quedaré con:

$\sin(2 \alpha) = \frac{3}{4}$

Que le dará facilidad a $\alpha = 24.3$

Así que, ¿por qué estoy teniendo resultados diferentes? Yo no lo entiendo.

Answer 1

Si usted cuadrados, usted también consigue las soluciones de $$ \sin\alpha\cos\alpha=-\frac{1}{2} $$

En general, si se tiene una ecuación de la forma $f(x)=g(x)$ y cuadrado ambos lados, se obtiene, después de la reorganización, $$ f(x)^2-g(x)^2=0 \etiqueta{*} $$ que puede ser reescrito $$ (f(x)-g(x))(f(x)+g(x))=0 $$ así que las soluciones de (*) son las soluciones de $f(x)-g(x)=0$ (la ecuación original), junto con las soluciones de la $f(x)+g(x)=0$.

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La forma más segura para resolver su ecuación es establecer $t=\tan(\alpha/2)$, por lo que la ecuación se convierte en $$ \frac{2}{1+t^2}-\frac{1-t^2}{1+t^2}=\frac{1}{2} $$ que se reduce a $$ t^2+4t-3=0 $$ con las soluciones de $$ -2+\sqrt{7}\qquad\text{o}\qquad -2-\sqrt{7} $$ La primera corresponde a soluciones $$ \alpha=2\arctan(\sqrt{7}-2)\aprox 65.7^\circ $$ y el segundo a la $$ \alpha=-2\arctan(\sqrt{7}+2)\aprox-155.7^\circ $$ o $\approx204.3^\circ$ si desea un valor entre el$0$$360$.

Answer 2

En primer lugar, observe que además de $24.3°$ usted también tiene la solución $90°-24.3°=65.7°$ (ángulos suplementarios tienen el mismo seno).

Su solución de $24.3°$ es para descartar, porque es una solución de la ecuación de $\cos\alpha-\sin\alpha=1$ (que por supuesto es el mismo que el dado a uno cuando se eleva al cuadrado).

En resumen: cuando se resuelve $\sin2\alpha=3/4$ debe tener en cuenta todas las soluciones, y descartar los falsos:

$\alpha=48.6°/2$ (descartar)

$\alpha=(48.6°+360°)/2$ (fina, es el mismo de la $-155.7°$)

$\alpha=(180°-48.6°)/2$ (fina)

$\alpha=(180°-48.6°+360°)/2$ (descartar).

Answer 3

El cuadrado es muy útil (a veces inevitable) camino para resolver una ecuación, pero siempre presenta nuevas soluciones que pueden no encajar en el problema original. Al cuadrado ambos lados de una ecuación, usted siempre debe consultar a su soluciones para asegurarse de que son aplicables.

Si usted puede evitar el cuadrado, usted puede tratar de hacerlo para no ser confundido con extra de soluciones. Para este problema en particular, se puede resolver sin el cuadrado de la siguiente manera:

$\dfrac12\ =\ \sin\alpha-\cos\alpha\ =\ \sqrt2\,(\cos45^\circ\sin\alpha - \sin45^\circ\cos\alpha)\ =\ \sqrt2\sin(\alpha-45^\circ)$

que da $\sin(\alpha-45^\circ)=\frac1{2\sqrt2}$ que se puede resolver para darle los valores obtenidos a partir de Mathematica.

Answer 4

Cada una de las soluciones a $\sin(\alpha) - \cos(\alpha) = \frac{1}{2}$ es, de hecho, una solución a $\sin(2 \alpha) = \frac{3}{4}$. Que el trabajo que se ha realizado correctamente.

Su error es en la incomprensión de lo que han hecho, o qué hacer con esa información.

En general, el siguiente paso es:

• Encontrar el conjunto de $S$ de todas las soluciones a $\sin(2 \alpha) = \frac{3}{4}$

Tenga en cuenta que lo que realmente es importante para encontrar el todo el conjunto de soluciones. No ser descuidado y tomar una solución.

Una vez determinado el conjunto de $S$, usted sabe que contiene cada una de las soluciones a la ecuación original $\sin(\alpha) - \cos(\alpha) = \frac{1}{2}$; sin embargo, puede (y lo hace!) contienen otras cosas también! El siguiente paso es

• Identificar cuál de las soluciones en $S$ son o no son soluciones a $\sin(\alpha) - \cos(\alpha) = \frac{1}{2}$

Una vez que hayas elegido cuál de las soluciones en $S$ también satisfacer $\sin(\alpha) - \cos(\alpha) = \frac{1}{2}$, ahora tiene su solución completa.

Answer 5

Por el cuadrado de uno sin darse cuenta le pide dos soluciones de

$$\sin(\alpha) - cos(\alpha) = \frac{1}{2} ,\quad\sin(\alpha) - cos(\alpha) = \frac{-1}{2}$$

Al final nos debe conservar sólo las soluciones de interés.