No resonante pero eficiente de las frecuencias

Question

Entiendo que si la frecuencia de la fuerza impulsora coincide con la frecuencia natural de un oscilador (por ejemplo, un péndulo), la velocidad a la que se transfiere la energía a la misma está maximizada. Sin embargo, puede haber otras frecuencias que no son tan eficientes, pero hacer la transferencia de energía al sistema, es decir, el último absorbe.

La costumbre de gráficos de trama de la intensidad o amplitud versus frecuencia y tienen el aspecto de una empinada triángulo. Así que punto en el que las frecuencias que rodean a la natural como la más eficaz. Pero, ¿qué acerca de las frecuencias, que son sub-múltiplos de la frecuencia natural ($f_o$), como $f_o/2$, $f_o/3$ y así sucesivamente. Por ejemplo, cuando balanceo puedo tomar impulso no cada vez que llego a un pico, pero cada vez otro. A mí me parece que una fuerza operativa en esta frecuencia debe lograr el tanto de la amplitud de aumentar a medida que el natural, en cada disparo, aunque, por supuesto, que dispara a una tasa más baja.

Por lo tanto entiendo que este actor no brilla hasta en un gráfico de conspirar en contra de la intensidad (que es la potencia/superficie, por lo que tiene una dependencia de tiempo, ok?) pero no veo por qué este frecuencias no son merecido en un trazado de gráficos puramente en contra de la "amplitud", como este:

Una razón puede ser la amortiguación (el efecto es eliminado antes de que se pueda consolidar), pero ¿y si el oscilador se idealmente libre de amortiguación?

De todos modos, dejando a un lado los gráficos, se puede decir que esos son, después de la frecuencia natural en sí misma, la más eficaz de las frecuencias en términos de aumento de la amplitud?

Answer 1

Este es un problema sutil! Su intuición es correcta (una conducción en $f_0/2$ debe ser muy eficaz) aunque el gráfico parece contradecir esto. La razón es que el gráfico muestra la respuesta a una sinusoidal de conducción de la fuerza. Si, de hecho, llevó a la masa sinusoidal a una frecuencia $f_0/2$, sería de hecho ineficaces, que estaría en la celebración de la misa y tratando de hacer que se vaya a la mitad tan rápido como él quiere ir.

Sin embargo, usted propone fuerzas que parecen sharp impulsos, donde los impulsos llegan a una frecuencia $f$. Una fuerza que en realidad tiene un número infinito de armónicos a frecuencias $f$, $2f$, $3f$, y así sucesivamente, por lo que es, en cierto sentido, equivalente a conducir con infinidad de sinusoides a la vez.

A ver por qué intuitivamente, considere la posibilidad de oír a alguien aplaudiendo un par de veces por segundo. Dado que la frecuencia de las palmas es bastante baja, se podría pensar que es el sonido de baja en el tono, pero en realidad suena bastante alta, porque muchos de los armónicos creados en cada individuo aplaudir.

Es estos armónicos que la masa se escucha cuando usted conduce a una frecuencia $f_0/n$. La masa es más sensible a la $n^\text{th}$ armónico, debido a que tiene la frecuencia de resonancia $n(f_0/n) = f_0$. Un análisis más detallado (es decir, tomando la transformada de Fourier de la repetición de una breve pulso cuadrado) muestra que la conducción de impulsos en frecuencia $f_0/n$ es casi exactamente tan eficaz como la conducción de impulsos con frecuencia $f_0$, mientras que la amortiguación es baja y los impulsos son lo suficientemente corto.

Answer 2

En primer lugar voy a tratar de explicar por qué la amplitud vs frecuencia diagrama sólo tiene un máximo, entonces voy a ir de nuevo a por qué esto parece contradecir a su intuición.

Tomemos el más simple oscilador forzado fórmula, sin amortiguación (esto no afecta a nuestra conclusión), por ejemplo, que de una primavera sometidos a una fuerza de $F$ :

\begin{equation} x''(t) + \omega_0^2 x(t) = F(t) \end{equation}

Supongamos que $F = F_0 e^{i\omega t}$. Ahora, vamos a probar una solución de la forma $x(t) = Ae^{i\omega t}$. Mediante la inyección de estas expresiones en la ecuación que nos encontramos (después de bucear en ambos lados por $e^{i\omega t}$):

\begin{equation} -\omega^2 A +\omega_0^2 A = F_0 \end{equation}

Y por último : \begin{equation} A = \dfrac{F_0}{\omega_0^2-\omega^2} \end{equation}

Es evidente que la amplitud de la $A(\omega)$ sólo tiene un máximo en $\omega_0$ y eso es todo. No hay nada especial con las pulsaciones a $\omega_n = \omega_0 / n$ donde $n$ es cualquier entero. Por supuesto, existen dispositivos resonantes donde estos modos resonantes, como bien es el caso de algunas cavidades por ejemplo, donde los modos de resonancia son aquellos tales que refleja las ondas interfieren constructivamente, lo cual puede ocurrir cuando se toma en $n$ periodos de viajar de un lado de la cavidad a otra. Pero no hay tal efecto en un resorte lineal o péndulo.

Ahora, esto se aplica a una fuerza de $F$ de la forma $e^{i\omega t}$, que es muy específico: esto significa que una fuerza sinusoidal de pulsación $\omega$.

En su experimento, sin embargo, $F$ no tiene el aspecto de una sinusoide. Está más cerca de un fuerte impulso, que se conoce como una función de Dirac, señaló $\delta$ : $F(t) = \delta(t)$. Ahora en el análisis anterior sigue siendo valiosa, debido a que cualquier persona razonable de la función de $F$ tiene lo que llamamos una transformada de Fourier $\tilde{F}$ tal forma que : \begin{equation} F(t) = \int \tilde{F}(\omega) e^{i\omega t} d\omega \end{equation} Esto significa que una función $F$ puede ser representada como una suma de sinusoides. Esto es muy útil, debido a que el movimiento de la ecuación toma una forma muy simple cuando se escriben en el espacio de Fourier : \begin{equation} \tilde{x}(\omega) = \dfrac{\tilde{F}(\omega)}{\omega_0^2 - \omega^2} \end{equation}

Ahora, cuando $F(t) \simeq \delta (t)$ (es decir, que es muy alta con valores de alrededor de $t=0$ cuando el impulso es ejercida y 0 en caso contrario), la transformada de Fourier es una función constante. Esto significa un impulso muy breve que contiene todas las frecuencias, incluyendo la frecuencia de resonancia. Así que al final, ya $\tilde{F}(\omega) = cst = F_0$ : \begin{equation} x(t) \sim F_0 \int \dfrac{e^{i\omega t}}{\omega_0^2 - \omega^2} d\omega \end{equation} Es muy claro que las frecuencias alrededor de la frecuencia de resonancia de dominar, y tenemos aproximadamente: \begin{equation} x(t) \propto e^{i\omega_0 t} \end{equation}

Así que al final, debido a un impulso "contiene" todas las frecuencias, también contiene la frecuencia de resonancia, cuyo efecto domina.

Answer 3

Los detalles no lo ponen en los libros de texto de física, pero que es probable que aprender de la experiencia de la ingeniería es que la resonancia no sólo depende de la estructura interna del sistema , sino de cómo la energía fluye dentro y fuera. Un sistema resonante tiende a atrapar la energía y que la energía puede o puede no necesariamente ser admisible en la frecuencia de resonancia del sistema. Depende de la estructura interna.

Aunque la más común de transferencia de energía de un columpio es un ciclo por ciclo de empuje en una dirección, también es posible tener una persona frente a entregar un empuje tal que la tasa de aporte de energía para el sistema se duplica. Cada entrada, de la misma amplitud pero de 180 grados fuera de fase con el uno al otro. Mostrar sólo la amplitud de la respuesta en frecuencia de la oscilación (péndulo) del sistema, pero también hay una fase de componente y esto ilustra cómo el de 180 grados fuera de fase push funciona. La fase de gráfico siguiente muestra que se aproxima desde la baja frecuencia de la cerca grado cero de la fase de la señal es admisible, y acercándose a la de alta frecuencia, de 180 grados. El cambio de fase a través de la resonancia es muy fuerte cuando el sistema es de alto " Q " (muy poco amortiguación, muy baja pérdida de energía).

Para efectos prácticos, la oscilación del sistema depende de la oscilación de los cojinetes y de las fuerzas de arrastre en algún punto de llegar a un flujo de energía que es igual y opuesta a la tasa de entrada de energía a partir de la inserción. De lo contrario, la swinger eventualmente un bucle en la parte superior! En principio para sistemas lineales cero amortiguación significa que toda la energía que entra en el sistema se queda allí, y el pico resonante enfoques infinita amplitud. Pero en la práctica, los sistemas reales no son las no linealidades que el límite de captura de energía. La energía tiene una tendencia a encontrar una manera de salir a veces rompiendo el sistema (como el de Tacoma Narrows colapso de un Puente).

Para el giro del sistema de la estructura es tal que la tarifa de energía y de fase (en el caso de dos personas empujando) debe ser específico, pero que no es necesariamente cierto para todos los sistemas resonantes. Considerar el canto de la varilla que a menudo se usa en la física de demos en resonancia. La energía en este caso es suministrada por slip-stick de fricción entre la resina recubierto dedos de las manos y la superficie de la varilla; esencialmente de banda ancha de color ruido vibraciones de entrar en la varilla de la superficie. En este caso la estructura interna de la barra de filtros y concentrados de energía a partir de la entrada de ruido en la frecuencia natural de la varilla. La varilla admite y trampas que sólo una estrecha banda de la entrada de excitación. El resto de la banda de frecuencias son en su mayoría disipada como calor en la barra de la superficie.