Espectáculo $SL(2,\mathbb{Z})$ escrito como producto finito de elementos de una forma particular

Question

Demostrar que cualquier elemento de a $SL(2,\mathbb{Z})$ puede ser representado por un número finito de producto de matrices de la forma siguiente. $$\begin{pmatrix}1-ab & a^2\\ -b^2 & 1+ab\end{pmatrix}.$$ Estamos dado que el $SL(2,\mathbb{Z})$ es generado por $\begin{pmatrix}1 & 1\\ 0 & 1\end{pmatrix}$$ \begin{pmatrix}0 & -1\\ 1 & 0\end{pmatrix}$. Cuando $a=1$, $b=0$ tenemos el primer generador, no está seguro de cómo encontrar la segunda.

Probablemente es muy fácil, pero estoy teniendo problemas.

Answer 1

Así $a=1$, $b=0$ da $X := \left(\begin{array}{cc}1&1\\0&1\end{array}\right)$, e $a=b=1$ da $Y := \left(\begin{array}{cc}0&1\\-1&2\end{array}\right)$.

Ahora $YX^2 = \left(\begin{array}{cc}0&1\\-1&0\end{array}\right)$, que es la inversa de su segundo generador de ${\rm SL}(2,{\mathbb Z})$, pero que tiene orden finito, así que está bien.

Ahora, para resolver el problema, aún necesitamos conseguir $X^{-1}$ como un producto de matrices de la forma requerida. Pero $X^{-1} = (YX^2)^{-1}YX = (YX^2)^3YX$.