Cuál es el máximo número de para formar triángulos rectos a partir de n rectas

Question

Me interesa saber cuál es el máximo número de para formar triángulos rectos a partir de en $n=100$ líneas rectas

tal $n=3$ entonces el número máximo de es $1$ Ver figura: $\Delta ABC$ son triángulos rectos.

$n=4$ entonces el número máximo de es $3$ Ver la siguiente figura, $\Delta ABC,\Delta ABD,\Delta DAC$ son triángulos rectos.

Answer 1

Sugerencia: Toma dos líneas en ángulo recto entre sí. Cualquier línea que no sea paralela a las dos primeras se cruza con cada una de ellas para formar un triángulo rectángulo.

[Ver comentarios: pensar en la situación cuando ya se han colocado cuatro líneas].

Supongamos que hay una línea que no forma ningún ángulo recto con ninguna otra línea - si hay un triángulo rectángulo que no contiene esa línea, entonces la línea puede girarse (y trasladarse si es necesario para evitar la degeneración) para que sea perpendicular a uno de los lados de ese triángulo rectángulo - considere los casos.

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Si pensamos en configuraciones no degeneradas con muchos triángulos rectángulos dentro, cada uno de estos triángulos contiene un ángulo recto. Cada ángulo recto define un par de direcciones. Sea $r$ tales pares de direcciones en la configuración.

Las líneas de la configuración se dividen de la siguiente manera. Para las líneas que forman ángulos rectos tenemos $a_i$ líneas paralelas a una dirección y $b_i$ perpendicular a este $(1\le i \le r)$ . Tenemos $c$ líneas que no son perpendiculares a ninguna otra línea.

Hay $n$ líneas en total, por lo que $\sum a_i+\sum b_i+c=n$

Ahora las líneas en el par de direcciones representadas por $i$ hacer $a_ib_i$ ángulos rectos. Cada uno de los otros $n-a_i-b_i$ líneas forma un triángulo rectángulo con cada una de estas $a_ib_i$ vértices. Por lo tanto, el número de triángulos rectángulos en la configuración es $$S=\sum _{i=1}^ra_ib_i(n-a_i-b_i)$$

Ahora está claro que si $c\gt 1$ podemos dejar el $c$ líneas en posición general respecto a todas las direcciones $i$ (dejando así el número de triángulos rectángulos existentes sin cambios) pero disponiéndolos en dos direcciones perpendiculares dando vértices adicionales para triángulos rectángulos adicionales. Por tanto, tenemos ciertamente $c\le 1$ .

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Ahora supongamos que hay dos conjuntos de líneas perpendiculares con $p$ perpendicular a $q$ y $s$ perpendicular a $t$ para que $n=p+q+r+s+t$ y el número de triángulos es $pq(n-p-q)+st(n-s-t)=pqs+pqt+pst+qst=T$ - es una expresión homogénea. Supongamos ahora que intentamos aumentar el número de triángulos aumentando $p$ por $1$ y disminuyendo $q$ por $1$ dando $$(p+1)(q-1)(s+t)+st(p+q)=T+(q-p-1)(s+t)$$ y esto es un aumento si $q\gt p+1$ . En este caso (por homogeneidad), siempre que dos de los números difieran en dos o más, aumentamos el valor de $T$ si los alteramos para que estén más cerca unos de otros.

Así que si asignamos los valores $0$ o $1$ a $a,b,c$ lo mejor que podemos hacer con cuatro direcciones y $n=4m+a+b+c$ es $$m(m+a)(2m+b+c)+(m+b)(m+c)(2m+a)=4m^3+3(a+b+c)m^2+2(ab+ac+bc)m+abc$$

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Veamos qué ocurre si hay $4m+1$ en dos casos.

Si tenemos cuatro direcciones, la fórmula anterior tiene $a=1, b=c=0$ y da $4m^3+3m^2$ . La línea de repuesto hace $m$ vértices en ángulo recto para $2m$ líneas para completar, y completa los triángulos con $m^2$ de los vértices existentes.

Si tenemos cuatro direcciones en dos pares, con $m$ líneas en cada dirección, lo que da $4m^3$ triángulos y una sola línea en una dirección diferente añade $2m^2$ que es menor que antes.

Así que si estamos añadiendo una línea a una configuración existente de $n$ líneas y lo hacemos paralelo a $p$ líneas existentes y perpendicular a $q$ añadimos $q$ vértices en ángulo recto para $n-p-q$ líneas para completar, y necesitamos un recuento $r$ de los vértices en ángulo recto formados por otros conjuntos. Añadimos $q(n-p-q)+r$ triángulos. Ciertamente, elegimos el mayor de $p$ y $q$ .