Hay una definición canónica del concepto de interior de productos para espacios vectoriales sobre arbitraria campos, es decir, los otros campos de ℝ o ℂ?
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Vetle
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No. El axioma de que la falla es positivo-la certeza, que no significa nada para un campo arbitrario. Pero todavía se puede definir formas bilineales simétricas.
Como Qiaochu escribió, la respuesta a la pregunta es "no, realmente no, pero..." Let me amplificar en el "pero".
Positivo-la certeza de por sí requiere de un orden en su campo. Por el contrario, si usted tiene una orden de campo, entonces la teoría de interior de los productos pasa a través de verbatim. (El orden no tiene que ser de Arquímedes, por lo que este hecho le da un montón de ejemplos más.)
Supongamos que tenemos un campo K de característica distinta de 2, que no se pueden ordenar por: por el teorema de Artin-Schreier, esto es equivalente a -1 es una suma de cuadrados en el campo. Entonces usted no tiene "la certeza". Lo que es más, el "estándar interno de producto"
q(x_1,...,x_n) = x_1^2 + ... + x_n^2
será isotrópica para suficientemente grande de n, es decir, existe un valor distinto de cero vectores v = (x_1,...,x_n) tales que p(v) = 0. Por ejemplo, si K es finito, esto ocurre tan pronto como n >= 3.
Permítanme comentar que "isotrópica interior de los productos" no son inherentemente inútil. Tengo una versión preliminar de un libro maravilloso, "Álgebra Lineal Métodos en la Combinatoria" por Laszlo Babai, que de hecho, hace buen uso de la interna anterior producto finito campos, incluso en el carácter 2.
(Ver http://www.cs.uchicago.edu/research/publications/combinatorics. Por desgracia parece que el libro nunca llegó a realizarse. Yo tengo mi copia más de 10 años cuando tomé un curso de licenciatura en la combinatoria de Babai.)
Por otro lado, a cualquier forma cuadrática sobre un campo K de característica no 2, se puede asociar una bilineal simétrica forma. Ver (entre infinitamente otras referencias) p. 2 de
http://math.uga.edu/~pete/quadraticforms.pdf
Como en el anterior, es plausible que una expresión algebraica sustituto para el "producto interior espacio" es "espacio vectorial dotado de un anisotrópico forma cuadrática", es decir, es una forma cuadrática sin distinto de cero vectores de v para el cual p(v) = 0. Witt descubierto que usted puede hacer un montón de "geometría" en este caso: sobre todo, se definió la reflexión a través de la hyperplane determinado por cualquier anisotrópico vector: ver (e.g....) páginas 17-18 de la referencia anterior. Más es verdad que está incluido en mis notas introductorias: por ejemplo, el grupo ortogonal de un anistropic forma cuadrática tiene la "compacidad" propiedades de la norma real grupo ortogonal O(n) (es decir, no contiene trivial split subtorus).
Herms
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Para obtener un análogo de hermitian interior de los productos, la generalización del producto interior de complejo de espacios vectoriales, por lo general se considera que los campos dotado de una involución (igual de complejo conjugación) y los usos que en la más o menos evidentes. Esto es cómo uno puede definir la central unitaria de grupos, por ejemplo; véase Dieudonné del Sur les groupes classiques.
