Prueba en la página. $16 \;$ de Lang, la Teoría Algebraica de números

Question

Estoy tratando de entender la prueba del Corolario $1$ en p. $16$. Dice

Corolario $1$. Deje $A$ ser un anillo integralmente cerrado en su cociente de campo $K$. Deje $L$ ser un finita de Galois de la extensión de $K$, e $B$ integral de cierre de $A$$L$. Deje $\mathfrak{p}$ ser un ideal maximal de a $A$. Deje $\phi:A \rightarrow A/\mathfrak{p}$ ser la canónica homomorphism, y deje $\psi_1, \psi_2$ dos homomorphisms de $B$ extender $\phi$ en una clausura algebraica de $A/\mathfrak{p}$. Entonces existe un automorphism $\sigma$ $L$ $K$ tal que $$\psi_1=\psi_2 \circ \sigma.$$

Él muestra que

Sin pérdida de generalidad, podemos asumir que el $\psi_1,\psi_2$ tiene el mismo kernel $\mathfrak{P}$.

que soy feliz con. Él entonces dice

Por lo tanto, no existe un automorphism $\omega$ $\psi_1(B)$ a $\psi_2(B)$ tal que $\omega \circ \psi_1 =\psi_2$.

Creo que tenemos este automorphism por la observación de que $$\psi_1(B)\cong B/\mathfrak{P} \cong \psi_2(B)$$ and then using the induced isomorphisms $\overline{\psi_1}$, $\overline{\psi_2}$ to get $$\omega=\overline{\psi_2}\overline\psi_1^{-1}.$$ El que escribe

Existe un elemento $\sigma$ $G_{\mathfrak{P}}$ tal que $\omega \circ \psi_1=\psi_1 \circ \sigma$, en la anterior proposición.

el que no me siga. La anterior proposición es

La proposición 14. Deje $A$ ser integralmente cerrado en su cociente de campo $K$, y deje $B$ ser integral, en un cierre de finita de Galois de la extensión de $L$$K$, con un grupo de $G$. Deje $\mathfrak{p}$ ser un ideal maximal de a $A$, e $\mathfrak{P}$ un ideal maximal de a $B$ está por encima $\mathfrak{p}$. A continuación, $B/\mathfrak{P}$ es una extensión normal de $A/\mathfrak{p}$, y el mapa de $\sigma \mapsto \overline \sigma$ induce un homomorphism de $G_\mathfrak{P}$ en el grupo de Galois de $B/\mathfrak{P}$$A/\mathfrak{p}$.

$G_\mathfrak{P}=\{\tau \in \text{Gal}(L/K|\tau \mathfrak{P}=\mathfrak{P}\}$

Así que lo que necesito es mostrar que hay un elemento $\overline{\sigma} \in\text{Gal}((B/\mathfrak{P})/(A/\mathfrak{p}))$ que necesita ser inducida por $\sigma$. Sin embargo, la imagen de $\psi_1 \circ \sigma$$\psi_1(B)$, mientras que la imagen de $\omega \circ \psi_1$$\psi_2(B)$, así que no veo cómo estos mapas pueden ser iguales.

Answer 1

Por la proposición 14, $B/\mathfrak P$ es una normal de extensión de $A/\mathfrak p$, por lo que las imágenes de $\psi_1$ $\psi_2$ dentro de la clausura algebraica de $A/\mathfrak p$ son en realidad la misma: $\psi_1(B) = \psi_2(B)$. Por eso $\omega: \psi_1(B) \to \psi_2(B)$ es llamado un automorphism en lugar de un isomorfismo. Por lo $\omega$ es un elemento de $\operatorname{Gal}(B/\mathfrak P | A/\mathfrak p)$, por lo tanto se trata de un elemento $\sigma \in \operatorname{Gal}(L|K)$$\sigma \mathfrak P = \mathfrak P$. Visualización de $\psi_1: B \to \psi_1(B) \cong B/\mathfrak P$ como es la proyección del mapa de la inducción de la surjection $\operatorname{Gal}(L|K)_{\mathfrak P} \to \operatorname{Gal}(B/\mathfrak P | A/\mathfrak p)$, esto significa $\omega \circ \psi_1 = \psi_1 \circ \sigma$.