Factorización de polinomios - valor absoluto de los coeficientes

Question

Esta pregunta toma la factorización de un polinomio $p(x)=q(x)r(x)$ donde $p$ (y para mi propósito aquí $q$ y $r$ ) tienen coeficientes enteros y pregunta si el valor absoluto máximo de los coeficientes de $q,r$ puede ser mayor que el valor absoluto máximo de los coeficientes de $p$ .

Eso se responde con un factor de $x^{105}-1$ que tiene un coeficiente de valor absoluto $2$ y hay otros ejemplos de mayor grado entre los polinomios ciclotómicos.

También hay que tener en cuenta que $x^4+1=(x^2+1)^2-2x^2$ tiene la factorización $(x^2+ \sqrt 2 x + 1)(x^2- \sqrt 2 x +1)$ que no es integral, pero sugiere que pueden existir ejemplos de menor grado.

¿Pero cuál es el grado más bajo de un polinomio entero donde $q,r$ tienen coeficientes enteros que no están limitados por el valor absoluto máximo del polinomio original?

(disculpa por la torpe explicación - no pude encontrar una forma más clara de preguntar lo que quería).

Answer 1

Supuse que el ejemplo de @Ewan Delanoy era mínimo, y al intentar probarlo, encontré la siguiente factorización de grado 3 muy similar: $$X^3-X^2-X+1 = (X^2-2X+1)(X+1)$$ que debe ser mínimo porque al menos un factor debe tener grado al menos $2$ porque los coeficientes inicial y final de los factores están limitados por los del producto.

Hay que felicitar a Ewan, ya que sin su ejemplo, no habría construido el otro.

P. S.: Si quieres una factorización en irreducibles, considera $$X^3+2X^2-2X-1 = (X^2+3X+1)(X-1)$$

Answer 2

¿Qué pasa con

$$ X^4+X^3+X+1=(X^2+2X+1)(X^2-X+1) $$

Answer 3

No, no existe el menor grado de factorización si los coeficientes pueden ser irracionales. Todo binomio se puede escribir de la forma $a+b$ o $a-b$ y ambos pueden ser factorizados.

$a+b=(\sqrt a+\sqrt b)(\sqrt a-\sqrt b)$

$a-b=(\sqrt a +\sqrt b-\sqrt (2\sqrt (ab))(\sqrt a+\sqrt b+\sqrt (2\sqrt (ab))$

Cada factor encontrado se puede factorizar además utilizando las mismas identidades. $(\sqrt a+\sqrt b+\sqrt (2\sqrt (ab))$ tendrá que escribirse como $(\sqrt a+\sqrt b)+(\sqrt (2\sqrt (ab))$ para el $a+b$ identidad a utilizar. (y de forma similar para el otro factor.

Si los factores tienen que ser enteros, el menor grado posible de un factor es $1/2$ es decir, cuando el factor es de la forma $a+b$ se puede volver a factorizar utilizando la identidad exactamente una vez, manteniendo los coeficientes como enteros. Sin embargo, tiene que haber al menos un factor de grado 1.