¿Cuál de las siguientes sumas es un aproximado más cercano a $e^{-5}$?

Question

Aquí se presentan dos sumas dadas:

1. $$e^{-5}\approx \sum_{i=0}^9 \frac{(-1)^i 5^i}{i!}$$
2. $$e^{-5}=1/e^5\approx \frac{1}{\sum_{i=0}^9 \frac{5^i}{i!}}$$

Utilizando Matlab ;) Tengo que (2) está más cerca. Pero dejando de lado la computadora, ¿hay alguna manera de decir cuál está más cerca que la otra, por ejemplo, pensando en los errores?

Answer 1

La aproximación $$ e^x\approx\sum_{i=0}^{n-1}\frac{x^i}{i!} $$ tendrá un término de error de $\approx x^n/n!$ cuando $n\gg x$ ya que en esta etapa los términos se acercan más a cero. Por lo tanto, para $e^x$ y $e^{-x}$, el término de error es del mismo orden de magnitud. Sin embargo, para $x>0$, el término de error en relación al valor es mayor para $e^{-x}$, lo cual es lo que importa cuando estimamos $e^{-x}$ usando $1/e^x.

Por lo tanto, para $x>0$, es mejor aproximar $e^{-x}$ como $1/e^x$.

Answer 2

El error proporcional está relacionado con el valor de la suma hasta ahora. El valor absoluto de los términos aquí es el mismo, pero en el primer caso el signo alterna y los términos se cancelan (al menos un poco) por lo que cada nuevo término es mayor en proporción a la suma que en el segundo caso donde no hay cancelación.