Es el grupo de Picard de un esquema de homotopy invariantes en el sentido de que la proyección de $\pi : X \times \mathbb{A}^1 \a X$ induce un isomorfismo $\mathrm{Pic}(X) \cong \mathrm{Pic}(X \times \mathbb{A}^1)$? Claramente induce una división monomorphism, y es un isomorfismo iff las dos secciones de $i_0,i_1 : X \X \times \mathbb{A}^1$ inducir el mismo homomorphism en Picard grupos, es decir, $i_0^* \mathcal{L} \cong i_1^* \mathcal{L}$ para cada línea de paquete de $\mathcal{L}$ en $X \times \mathbb{A}^1$.
Hay varios casos especiales en que esto es cierto:
1) Cuando $X$ es noetherian, separados, integral y local factorial, se sigue de la Proposición. 6.6 (homotopy la invariancia de la clase a la de Weil) y el Corolario 6.16 (isomorfismo entre el grupo de clase y el grupo de Picard) en Hartshorne del libro. Me pregunto si existe más de una prueba directa, que no se toma el desvío con divisores de Weil, pero este no es mi principal pregunta aquí.
2) también es cierto cuando $X$ es afín y factorial (no necesariamente noetherian), ya que se puede comprobar directamente que el grupo de Picard de un factorial de dominio se desvanece. Luego se sigue también cuando $X$ es cubierto por afín factorial de los esquemas.
3) Si $X$ es parte integral de la proyectiva a través de una algebraicamente cerrado de campo con $H^1(X,\mathcal{S}_X)=0$, es un caso especial de Ex. III.12.6 en Hartshorne del libro. Tal vez alguien puede indicar una prueba?
Lo más general suposiciones? ¿Qué acerca de la integral de sistemas en general (entonces podemos trabajar con divisores de Cartier)? O, incluso tienen en general? La observación de que no quiero hacer cualquier desvío con los grupos de la clase! Si no, me gustaría conocer ejemplos concretos de $X$ tal que $\mathrm{Pic}(X \times \mathbb{A}^1) \no\cong \mathrm{Pic}(X)$.
