¿Cuál es el significado de límite de puntos?

Question

Cuando tuve a mi primer sabor de la topología de un par de años atrás, nuestra profesora destacó las siguientes nociones.

• conjunto cerrado, cierre, cierre de punto
• conjunto abierto, interior, interior de punto

Por supuesto, todos estos son básicamente diferentes formas de hablar acerca de la misma cosa. Por ejemplo, de la familia de conjuntos cerrados de un espacio que puede obtener de su cierre, y el operador puntos fijos de la clausura del operador son precisamente los conjuntos cerrados; el abrir los conjuntos son precisamente los complementos de los conjuntos cerrados, etc.

De todos modos, los conceptos fueron bien motivados desde el punto de vista de las funciones continuas entre espacios métricos. Por ejemplo, se ha demostrado que la si $X$ $Y$ son espacios métricos y $f : X \rightarrow Y$ es una función, entonces los siguientes son equivalentes

1. $f$ es continua en el sentido de $\epsilon$-$\delta$.
2. La preimagen de un conjunto cerrado en $f$ es cerrado.
3. La preimagen de un conjunto abierto en $f$ está abierto.
4. $f(\mathrm{cl} \,A)\subseteq\mathrm{cl}(f(A))$ todos los $A \subseteq X$.
5. $\mathrm{cl}(f^{-1}(B)) \subseteq f^{-1}(\mathrm{cl} \,B)$ todos los $B \subseteq X$.
6. $f^{-1}( \mathrm{int} (B)) \subseteq \mathrm{int} ( f^{-1} ( B ) )$ todos los $B \subseteq Y$.

etc.

De todos modos, en la Wikipedia hay algunos relacionados con el concepto de que no eran realmente tratados en el curso que tomé, es decir, el límite de puntos y puntos aislados. I comprender las definiciones de la Wikipedia (en inglés claro), pero al mismo tiempo no entiendo su significado. Parece como cierre de puntos, pero menos de buen comportamiento.

Por ejemplo, el conjunto de todos los cierre de los puntos de un conjunto siempre incluye el juego original. Lo mismo es cierto para el conjunto de todos los límites de los puntos, en tanto que el conjunto original no posee puntos aislados, de hecho, no se obtendrá la misma respuesta. La única vez que obtener una respuesta diferente es cuando el conjunto original tiene al menos un punto aislado; pero, en este caso, el acto de tomar el conjunto de todos los límites de los puntos, ya no es de buen comportamiento; de hecho, nunca incluirá el juego original.

Así que, no me queda claro el beneficio de pensar en términos de límite de puntos, frente a cierre de puntos. ¿En qué circunstancias se limitan los puntos de la derecha concepto, y, más en general, ¿cuál es su significado?

Answer 1

Bien, como usted, yo no asignar el límite de puntos de la misma conceptual de estado como decir que el cierre de operador o el interior de operador. Pero, de hecho, es posible definir topologías usando "punto límite", como un primitivo axiomático noción.

La palabra clave es "derivado de conjunto", que en realidad es una noción importante. Dado un subconjunto $S$ a de un espacio topológico, la derivada de establecer $S'$ es el conjunto de límite de puntos de $S$. Las propiedades de la clave puede ser axiomatized: un (Cantor-Bendixson) derivado en un conjunto $X$ es monótona operador $\delta: P(X) \to P(X)$ que conserva finito sindicatos (incluyendo el vacío de la unión de $\emptyset$) tal que $\delta^2(S) \subseteq \delta(S)$ $a \in \delta(S)$ implica $a \in \delta(S \backslash \{a\})$, para cada $S \in P(X)$.

Entonces, dado un derivado en un conjunto $X$, definir $S \in P(X)$ $\delta$- cerrado si $\delta(S) \subseteq S$. Se puede demostrar esto le da a los conjuntos cerrados de una topología, que $\delta(S)$ es la derivada de la serie de $S$ con respecto a esta topología. De esta manera, existe un natural bijection entre las topologías y Cantor-Bendixson derivados, de modo que los dos conceptos son esencialmente equivalentes.

Una razón por la que no concuerdan plenamente derivados de la misma condición fundamental como (por ejemplo) el cierre de los operadores es que el cierre de los operadores son mucho más fáciles de trabajar en la configuración constructiva de las matemáticas (constructiva de la topología), donde, por diversas razones, uno podría estar interesado en abandonar el principio del medio excluido.

Dicho esto, derivado de los conjuntos son muy importantes. Fue Cantor del estudio de afirmar derivados de conjuntos en la recta real que le llevó a su teoría de los números ordinales y cardinales. No es que yo soy un experto, pero se utilizan mucho en el descriptivo de la teoría de conjuntos.

Edit: tal vez el siguiente va a dar más de una "patada" para el OP.

Problema: Demostrar que cada infinita cerrado subconjunto de la recta real tiene cardinalidad bien $\aleph_0$ o $2^{\aleph_0}$. Por lo tanto, la hipótesis continua mantiene al menos por cerrado subconjuntos de a $\mathbb{R}$.

No voy a explicar la respuesta en detalle aquí, realmente recomiendo tratando de pensar por sí mismo cómo probarlo, pero baste decir que una crítica de la noción en la solución estándar es el de la "perfecta": un subespacio $S$ $\mathbb{R}$ (o más en general, de cualquier espacio métrico separable) es perfecto si cada punto de $S$ es un punto límite de $S$.

Si usted intenta este problema y quedarse, a continuación, intente buscar en google "el Cantor-Bendixson teorema" y, a continuación, ver, por ejemplo, de aquí que para un buen teorema (teorema 1.1) que se refiere a la cardinalidad de la perfecta conjuntos.

El punto es que es punto límite -- no se cierre punto, que es la "derecha" o concepto apropiado para abordar este problema. Otro problema a lo largo de líneas similares: mostrar que un compacto Hausdorff grupo es finito o tiene cardinalidad, al menos,$2^{\aleph_0}$. De nuevo, es la bifurcación de cierre punto en el separar las nociones de aislamiento punto y punto límite que es crucial para el análisis.