Visualización de SU(3)

Question

Estoy tratando de visualizar el $SU(3)$ grupo utilizado en la teoría del campo cuántico. Tengo una comprensión (razonablemente) buena de $SU(2)$ como la doble portada de $SO(3)$ y también que esto es homeomorfo a $S^3$ . También he leído en otras preguntas aquí que $SU(3)$ es "algo así" $S^5\times SU(2)$ (eso lo haría "algo así como" $S^5\times S^3$ ?) pero no estoy seguro de si el "algo parecido" implica un homeomorfismo o si se trata de algún haz más complicado.

¿Existe una forma de visualizar $SU(3)$ como un colector real (ignorando su estructura de grupo si es necesario para centrarse en sus propiedades como colector)?

Answer 1

Los grupos unitarios especiales encajan en una secuencia de haces de fibras

$$SU(n-1) \to SU(n) \to S^{2n-1}$$

procedentes de sus acciones en las esferas unitarias de $\mathbb{C}^n$ equipado con el producto interno estándar. Para $n = 2$ obtenemos un haz de fibras

$$SU(2) \to SU(3) \to S^5$$

exponiendo $SU(3)$ como un (no trivial) $S^3$ haz de la mano sobre $S^5$ . Este haz se divide racionalmente en el sentido de que $SU(3)$ es racionalmente equivalente en homotopía a $S^3 \times S^5$ en particular, tiene la misma homología racional, cohomología y grupos racionales de homotopía que $S^3 \times S^5$ y, en particular, su polinomio de Betti es

$$\sum b_i(SU(3)) t^i = (1 + t^3)(1 + t^5).$$

Ver también esta pregunta del modus operandi .