¿Ecuación de Schrodinger de Klein-Gordon?

Question

Uno puede ver QM como 1+0 dimensiones QFT, los campos son sólo dependiendo de la hora y tan sólo son llamados operadores, y yo sé una manera de derivar de Schrödinger ecuación de Klein-Gordon.

Suponiendo un campo $\Phi$, con una baja de energía $E \approx m$ $m$ de la masa de la partícula, mediante la definición de $\phi$ como $\Phi(x,t) = e^{-imt}\phi(x,t)$ y en el desarrollo de la ecuación

$$(\partial^2 + m^2)\Phi~=~0$$

descuidar la $\partial_t^2 \phi$, luego se encuentra el familiar Schodinger ecuación:

$$i\partial_t\phi~=~-\frac{\Delta}{2m}\phi.$$

Aún así, no estoy completamente satisfecho acerca de la transición de campo $\rightarrow$ función de onda, incluso si suponemos que el número de partículas es fijo, y el campo sabe que actúa sobre un número finito de dimensiones de Espacio de Hilbert (una subparte de la primer Espacio de Fock para un determinado número de partículas). ¿Alguien tiene una referencia a otra proposición o argumento para esta derivación?

Edit: para referencia, los cálculos anteriores están tomadas de la Zee del libro, QFT en pocas palabras, la primera página en el Capítulo III.5.

Answer 1

Creo que se están mezclando dos cosas diferentes:

1. Por un lado, se puede ver QM como 0+1 (una dimensión temporal) QFT, donde la posición de los operadores (y su conjugado momenta) en la imagen de Heisenberg juega el rol de los campos (y su conjugado momenta) en el QFT. Usted puede comprobar, por ejemplo, que espacial de simetría de rotación en la mecánica cuántica la teoría es traducido a una simetría interna en el QFT.

2. Por otro lado, usted puede tomar el no-límite relativista (por cierto, que feo nombre, porque la relatividad Galileana es tan relativista como la relatividad Especial) de Klein-Gordon o la teoría de Dirac para obtener el Schrödinger QFT, donde $\phi$ (en su notation) es un campo cuántico en lugar de una función de onda. Hay un capítulo en Srednicki del libro donde esta cuestión se plantea de una manera sencilla y agradable. Allí, usted también puede leer acerca de spin-stastistic y la función de onda de partículas múltiples estados. Permítanme añadir algunas de las ecuaciones que esperemos que aclarar (yo estoy usando la anotación y por supuesto puede estar equivocada factores, unidades, etc.):

El campo cuántico es: $$\phi \sim \int d^3p \, a_p e^{-i(p^2/(2m) \cdot t - p \cdot x)}$$

El Hamiltoniano es:

$$H \sim i\int d^3x \left( \phi^{\dagger}\partial_t \phi - \frac{1}{2m}\partial _i \phi ^{\dagger} \partial ^i \phi \right) \, \sim \int d^3p \, \frac{p^2}{2m} \,a^{\dagger}_p a_p$$

La evolución del campo cuántico está dada por:

$$i\partial _t \phi \sim [\phi, H] \sim -\frac{\nabla ^2 \phi}{2m}$$

1-partícula de los estados están dados por:

$$|1p\rangle \sim \int d^3p \, \tilde f(t,p) \, a^{\dagger}_p \, |0\rangle$$

(uno puede definir de forma análoga multi-partícula de los estados)

Este estado verifica la ecuación de Schrödinger:

$$H \, |1p\rangle=i\partial _t \, |1p\rangle$$ iff

$$i\partial _t \, f(t,x) \sim -\frac{\nabla ^2 f(t,x)}{2m}$$

donde $f(t,x)$ espacial de Fourier transformada de $\tilde f (t,p)$.

$f(t,x)$ es una función de onda, mientras que $\phi (t, x)$ es un campo cuántico.

Este es el de la teoría, uno puede agregar la interacción de una manera similar.