solución de $y' = \exp \left(-\frac yx\right) + \frac yx$

Question

Me podrias ayudar a resolver la ecuación $$y' = \exp \left(-\frac yx\right) + \frac yx;\quad y(e) = 0$ $

Sé cómo resolver de lineales de 1er orden como $y' = \exp \bigl(-\frac 1x\bigr) + \frac yx$ pero aquí tengo la variable dependiente en la parte que generalmente (en mi práctica) estaba libre de él.

Answer 1

Esto puede ser escrita en la forma $y'=F(\frac{y}{x})$, por lo que este es un homogénea de la educación a distancia.

Deje $z=\frac{y}{x}$, por lo que obtenemos $y' = e^{-z} + z$.

Observar que $z=\frac{y}{x} \implies y=zx \implies y'=z'x+z$ por la regla del producto.

Por lo tanto,

$$ \begin{align} y' &= e^{-z} + z \\ z'x+z &=e^{-z}+z \\ z'x &=e^{-z} \\ z'&= \frac{e^{-z}}{x} \\ \frac{dz}{dx} &= \frac{e^{-z}}{x} \\ e^z dz &= \frac{dx}{x} \\ \int e^z dz &= \int \frac{dx}{x} \\ e^z &=\ln|x| + C \\ z &= \ln\left(\ln|x| + C \right). \\ \end{align} $$

Recordar, formulario de arriba, que $y=zx$. Así que la solución general es $y=x\ln(\ln|x|+C)$. Ahora debemos resolver para $C$ usando la condición inicial,

$$ \begin{align} y(e) &= 0\\ e \ln(\ln|e|+C) &= 0\\ e \ln(1 + C) &= 0\\ \ln(1+C) &= 0\\ 1+C &= e^0\\ 1+C &= 1\\ C &= 0 \\ \end{align} $$

Así que la solución es,

$$y=x\ln \left(\ln|x| \right).$$

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Usted puede encontrar estos recursos útiles:

1. Pablo en Línea de Notas - Sustituciones
2. PatrickJMT Ejemplos En Vídeo