Deje $X$ ser un equipo compacto, finito dimensionales suave colector y $k\in \mathbb{N}$. Considere los siguientes dos casos:
- $Y$ es de un número finito de dimensiones del colector de
- $Y$ es un infinito dimensional de Banach colector de
Pregunta: Es el espacio $C^k(X,Y)$ un Lindelöf espacio en uno o en ambos de estos casos?
Gracias por la ideas. También agradezco a todas las referencias de los resultados que van en esta dirección.
Edit: En caso de que uno supone que $Y$ es segundo contable, me he encontrado con el siguiente enfoque:
- A partir de un comentario de @Martin a esta respuesta deduzco que el espacio de $k$-jets $J^k(X,Y)$ es segundo contable si $X$ $Y$ son de segunda contables.
- Un resultado (en la página 2) en este documento implica que si $X$ $Z$ son de segunda contables, a continuación, $C^0(X,Z)$ (dotado con el compacto-abierta topología) es separable.
Establecimiento $Z:=J^r(X,Y)$ y utilizando el hecho de que el $C^k$-topología en $C^k(X,Y)$ es inducida por la $k$-jet de extensión $$j^k:C^k(X,Y)\to C^0(X,J^k(X,Y))$$ podemos deducir que $C^k(X,Y)$ es separable. Un espacio métrico es separable si y sólo si es Lindelöf. Desde $C^k(X,Y)$ es un espacio métrico llegamos a la conclusión de que es Lindelöf.
¿Este enfoque de trabajo, o hay algunos problemas que estoy vistas?
Si lo hace, un poco más de detalles de los pasos individuales (especialmente por qué $J^k(X,Y)$ es segundo contable si $X$ $Y$ son de segunda contables) también son apreciadas.
Gracias por cualquier comentario.
