Si GCD $(a_1,\ldots, a_n)=1$, entonces existe una matriz en la $SL_n(\mathbb{Z})$ con primera fila $(a_1,\ldots, a_n)$

Question

Desde el mcd de los números enteros $a_1,\ldots, a_n$$1$, existe pesos $x_i \in \mathbb{Z}$ tal que $a_1x_1+\cdots+ a_nx_n=1$. Mis dos ideas son (a) la fuerza bruta de la construcción de un $n\times n$ matriz con la primera fila $a_1,\ldots ,a_n$ y para la construcción de las filas restantes tal que el determinante es $\sum a_ix_i=1$ o (b) el uso de la inducción.

(a) (Constructiva) Esto es tedioso ya que una vez que encuentre un camino para la construcción de los restantes $n-1$ filas para asegurarse de que $a_1x_1$ aparece en el factor determinante, no estoy seguro de cómo modificar estos $n-1$ filas para asegurarse de que sólo los términos de $a_ix_i$ aparecen en el cofactor de expansión. Si dicha matriz existe, me gustaría ver.

(ii) (No-constructiva) Si de proceder por inducción, a continuación, el caso base $n=2$ está resuelto, ya puedo elegir la 2ª fila de a $-x_2, x_1$, de modo que el factor determinante es $a_1x_1-a_2(-x_2)=1$. Sin embargo, no estoy seguro de cómo utilizar el inductivo hipótesis para demostrar que si puedo construir una $n\times n$ entonces se puede construir una $n+1 \times n+1$ con la propiedad deseada. En particular, si el mcd $(a_1,\ldots ,a_{n+1})$$1$, no es necesario que el mcd de cualquier $n$ de estos términos es $1$, por lo que la inducción puede incluso no se aplican aquí.

¿Cómo puedo construir una matriz o demostrar que existe (sin necesariamente construcción)?

Answer 1

Supongamos que la declaración tiene por $n\geq2$, y considerar la posibilidad de enteros $a_1,\ldots,a_{n+1}$ cuyo MCD es $1$. Deje $d=\gcd(a_1,a_2,\ldots,a_n)$, y deje $a_i'=a_i/d$$i\leq n$. Tenga en cuenta que $$ 1=\gcd(a_1,\ldots,a_{n+1})=\gcd(d, a_{n+1}) $$ y $$ 1=\gcd(a_1',\ldots,a_n'). $$ Por inducción, existen matrices $X\in SL_2(\mathbb Z)$ $Y\in SL_n(\mathbb Z)$ cuyas primeras filas, $(d, a_{n+1})$ $(a_1',\ldots,a_n')$ respectivamente. Vamos $$ X=\begin{pmatrix}d&a_{n+1}\\ p&q\end{pmatrix}. $$ También considere la posibilidad de la $1\times n$ fila de la matriz $v=\begin{pmatrix}q&0&\ldots&0\end{pmatrix}$ e las $n\times 1$ columna de la matriz $w=\begin{pmatrix}a_{n+1}&0&\ldots&0\end{pmatrix}^T$. Deje $D$ $n\times n$ diagonal de la matriz diagonal con $(d,1,\ldots,1)$. Vamos $$ Z=\begin{pmatrix}DY&w\\ vY&q\end{pmatrix}. $$ Tenga en cuenta que la primera fila de $Z$$(a_1,\ldots,a_{n+1})$. También $$\begin{eqnarray*} Z\begin{pmatrix}Y^{-1}&0\\ 0&1\end{pmatrix} &=&\begin{pmatrix}D&w\\ v&q\end{pmatrix}\\ &=&\begin{pmatrix}d&0&a_{n+1}\\0&I&0\\ p&0&q\end{pmatrix}. \end{eqnarray*}$$ Desde $X$ es invertible $\mathbb Z$, por lo que es la RHS, y así es $Z$. Por lo tanto $\det(Z)=\pm1$, y se obtiene la necesaria matriz moviendo el signo de una fila de $Z$ si es necesario.

Answer 2

Puedo conseguir cerrar; considerar la posibilidad de que el bloque de la matriz $$\left(\begin{matrix} a_1x_1 & r\\ c&I\end{matrix}\right)$$ donde $r$ es el vector fila $(\begin{matrix} a_2 & a_3 & \cdots & a_n\end{matrix})$, $c$ es el vector columna $(\begin{matrix} -x_2 & -x_3 & \cdots & -x_n\end{matrix})^T$, e $I$ $(n-1)\times (n-1)$ matriz identidad.