Me topé con esta expansión particular que se incluyó en este puesto.
$$ \displaystyle \arcsin^{2}(x) = \frac{1}{2} \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{2} \binom{2n}{n}} (2x)^{2n}$$
Esto me llamó la atención porque recuerdo haber intentado derivar una serie de Taylor para $\arcsin^{2}(x)$ hace un tiempo sin mucho éxito.
¿Puede alguien demostrar esto o indicarme un material que demuestre esta identidad?
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No dudes en utilizar cualquier aparato matemático que tengas a mano. No estoy interesado en una prueba apta para un determinado nivel, ni busco la máxima elegancia (aunque eso sería encantador).
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Véase Z. R. Melzak. Companion to Concrete Mathematics. Wiley-Interscience, Nueva York, 1973 página 108
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Lo siento, mi culpa por no mencionar que estoy buscando un material al que se puede acceder fácilmente en línea.
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Puede encontrar una derivación de la serie de Taylor de $\frac{\arcsin(x)}{\sqrt{1-x^2}}$ esta respuesta . Observe que $\frac{d\arcsin^2(x)}{dx} = \frac{2\arcsin(x)}{\sqrt{1-x^2}}$ por lo que una simple integración da su serie.
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Muchas gracias por la puntualización, ahora me parece evidente, la verdad... Lo resolveré así. Sin embargo, voy a dejar la pregunta abierta por si a alguien se le ocurre un método diferente, ya que puede ser de utilidad para otros en el futuro.