Es Posible tener Dos Distintas Funciones Analíticas con la Misma Parte Real?

Question

Mi profesor dice que dado que la parte real $u$ de una analítica de la función $f$ definido en un dominio $D\subset \mathbb{C}$, lo que no podemos descartar la posibilidad de que podrían existir algunos otros de la analítica de la función $g$, a diferencia de $f$ más allá de la simple adición de una constante, definida en un dominio $E\subset \mathbb{C}$ distintos, o no homeomórficos, $D$, siempre que $f$ no es analítica en $E$.

Desde la diferenciación de $u$ con respecto a una variable y luego integrar con respecto a los otros determina completamente la parte imaginaria, lo que esto me dice es que el $u$ tendría que producir diferentes derivadas parciales en a$D$$E$, respectivamente, o $\frac{\partial u}{\partial x}$ diferentes tipos primitivos.

El caso de D y E siendo discontinuo es trivial, pero ¿alguien puede darme un ejemplo para D y E que se superponen, pero no homeomórficos?

Answer 1

Deje $f$ $g$ dos funciones analíticas definidas en los dominios $D$$E$, respectivamente, y supongamos $A=D\cap E$ es no vacío y conectado. Supongamos que $\Re f(z) = \Re g(z)$ todos los $z\in A$. Entonces yo reclamo que $f$ $g$ diferir por un aditivo (imaginario) constante, es decir, $f(z) = g(z) + i\alpha$ algunos $\alpha\in\mathbb R$. (Además, por la singularidad de continuación analítica, esta relación se mantiene dondequiera $f$ $g$ ambos están definidos).

Para demostrar que el reclamo, nos pusimos $h=f-g$; a continuación, $\Re h(z)=0$ todos los $z\in A$, y tenemos que mostrar que $h$ es constante. Pero esto se sigue inmediatamente de la de Cauchy-Riemann ecuaciones (la integral de la derivada de $0$ es constante), ya que la diferencia de dos funciones analíticas que también es analítica. (Más precisamente, la derivada es cero fuerzas de $h$ a ser localmente constante; desde $A$ está conectado, lo que implica que $h$ es constante.)

En particular, supongamos que $g(z)$ fueron una analítica de la función definida en el anillo tal que $\Re g(z) = \log |z|$ en todas partes en el espacio anular. En particular, en la ranura del anillo, $\Re g(z) = \Re(\log z)$ (por tu favorito rama de $\log$ definido en esa hendidura anillo). A continuación, en la ranura del anillo, $g(z) = \log z + i\alpha$ algunos $\alpha\in\mathbb R$. Sin embargo, la función de $\log z + i\alpha$ no es continua en la hendidura, contradiciendo la analiticidad de $g$ no; por lo tanto no puede existir $g$.