Si $[G:H]$ $[G:K]$ son relativamente primos, a continuación, $G=HK$

Question

Estoy luchando por la prueba de que si $H$ $K$ son subgrupos de un número finito de índice de un grupo de $G$ tal que [G:H] y [G:K] son relativamente primos, a continuación,$G=HK$. No sé por qué yo no puedo responder a eso, debido a que esta pregunta parece fácil. Estoy atascado tal vez porque he estudiado hasta ahora sólo teorema de Lagrange y algunas de sus consecuencias. Pero creo que no necesita mucho más, porque este es el material cubierto hasta el momento por el Hungerford del libro.

Necesito ayuda

Gracias

Answer 1

Tenemos el siguiente hecho:

1. Si $H$ $K$ son subgrupos de un grupo de $G$,$[H:H\cap K]\leq [G:K]$. Si $[G:K]$ es finito, entonces $[H:H\cap K]=[G:K]$ si y sólo si $G=KH$. Esta es la proposición $4.8$ del capítulo I en Hungerford del Álgebra.

Es fácil probar que $[G:H][H:H\cap K]=[G:K][K:H\cap K]$, a partir de esto la conclusión de que la $[G:H]\mid [K:H\cap K]$; desde $[G:H]$ $[G:K]$ son relativamente primos, y combinig este con $(1)$ obtenemos $[G:H]=[K:H\cap K]$, así que...