¿Qué es exactamente un diferencial?

Question

He visto mucho la fórmula de los diferenciales, a saber

$$dy=f'(x)dx$$

pero lo que pienso cuando veo esto es que alguien está manipulando la "fórmula"

$$f'(x)=\frac{dy}{dx}$$

Cuando pienso en "ecuación diferencial", pienso en

$$f\left(x,y,\frac{dy}{dx},\frac{d^2y}{dx^2},\cdots,\frac{d^ny}{dx^n}\right)=0$$

no

$$f(x,y,dy,dx,\cdots)=0$$

He oído que $\Delta y$ y $\Delta x$ puede aproximarse mediante $dy$ y $dx$ (¿o tal vez es al revés?), pero eso no tiene mucho sentido para mí. Si se sustituye $dy$ y $dx$ por $\Delta y$ y $\Delta x$ , más o menos tienes el método de Euler, pero esto todavía no me aclara mucho. Así que,

¿Qué es exactamente un diferencial y por qué es útil? ?

Answer 1

El diferencial de una función $f$ en $x_0$ es simplemente la función lineal que produce la mejor aproximación lineal de $f(x)$ en un barrio de $x_0$ .

En concreto, entre las funciones lineales $l$ que toman el valor $f(x_0)$ en $x_0$ existe a lo sumo uno tal que, en una vecindad de $x_0$ tenemos: $$f(x_0+h)=f(x_0)+l(h)+o(h)$$ Es el mapa lineal $h\longmapsto l(h)$ que llamamos diferencial de $f$ en $x_0$ y denota $\mathrm d\mkern 1mu f_{x_0}$ .

En particular, si $f$ es la función identidad, es su propia aproximación lineal, es decir, si hacemos el habitual abuso del lenguaje que consiste en confundir una función y su valor en un punto genérico, escribiremos $\mathrm d\mkern 1mu\operatorname{id}=\mathrm d\mkern 1mu x$ . Estrictamente hablando es el mapa de identidad $h \longmapsto h$ pero aún confundiendo la función y su fórmula, escribiremos $h=\mathrm d\mkern 1mu x$ y finalmente: $$\mathrm d\mkern 1mu f_{x_0}=f'(x_0)\,\mathrm d\mkern 1mu x$$ lo que significa la aproximación lineal: $\;h\longmapsto f'(x_0) h\;$ de $\;h\longmapsto f(x_0+h)-f(x_0)$ .

Answer 2

La pregunta correcta no es "¿Qué es un diferencial?" sino "¿Cómo se comportan los diferenciales?".

Permítanme explicar esto mediante una analogía. Supongamos que te enseño todas las reglas para sumar y multiplicar números racionales. Entonces me preguntas: "Pero, ¿qué son los números racionales?"

La respuesta es: Son cualquier cosa que obedezca esas reglas. Ahora bien, para que eso tenga sentido, tenemos que saber que hay al menos un cosa que obedece a esas reglas.

Así que los matemáticos resuelven el problema de la siguiente manera: Primero definen pares ordenados de enteros. Luego definen dos pares ordenados $(a,b)$ y $(c,d)$ para ser equivalente si $ad=bc$ . A continuación, definen un clase de equivalencia como cualquier conjunto de pares ordenados, todos los cuales son equivalentes entre sí, y ninguno de ellos es equivalente a nada fuera de ese conjunto. A continuación, definen un número racional $a/b$ para ser la clase de equivalencia del par ordenado $(a,b)$ , donde $a$ es un número entero cualquiera y $b$ es cualquier número entero no nulo. A continuación, describen la suma y la multiplicación de las clases de equivalencia en términos de los pares ordenados subyacentes. Por ejemplo, definen $a/b + c/d$ para igualar $(ad+bc)/bd$ (recordando que cada una de estas expresiones representa un conjunto de pares ordenados. A continuación, comprueban que la definición tiene sentido, por ejemplo, si $a/b=e/f$ entonces $a/b+c/d$ mejor que sea igual $e/f+c/d$ Así que comprueban esto y un montón de otras propiedades. Finalmente, dicen: Bien. Hemos encontrado una estructura que obedece a todas las reglas de los "números racionales", así que sabemos que los números racionales existen. Ahora que sabemos eso, podemos dejar de pensar en toda esa estructura y simplemente operar con las reglas.

Así pues, nadie piensa nunca en el número racional 2/3 como un conjunto de pares ordenados, aunque, según el relato anterior, eso es lo que "es".

Los diferenciales son exactamente así, excepto que la construcción es considerablemente más complicada que la de los números racionales.

Pero usted empezó a trabajar con números racionales en la escuela primaria, mucho antes de saber cómo construirlos. Todo lo que necesitabas saber eran las reglas para manipularlos. Mucho más tarde, si estabas interesado, preguntabas a alguien "¿Qué es un número racional?" y tal vez tengas una explicación como la que te acabo de dar.

Es importante saber que esa construcción existe, porque eso es lo que asegura que las reglas que has estado usando no te llevarán a una contradicción. Pero en realidad no es necesario conocer la construcción para aprender las reglas.

En resumen: Habría sido una locura esperar a tener una explicación a ese nivel antes de empezar a hacer aritmética de números racionales.

Si tienes interés y curiosidad -y parece que lo tienes-, acabarás aprendiendo a construir diferenciales de forma rigurosa. No voy a poner esa construcción en esta respuesta, porque todos los detalles llevarían demasiado tiempo. Pero es análogo a la construcción de los números racionales. Y, como en ese caso, el único propósito de la construcción es mostrar que algo satisface las reglas con las que has estado trabajando todos estos años, para garantizar que esas reglas no sean autocontradictorias.

Answer 3

La teoría que explica los detalles de $\mathrm{d}x$ rigurosa y formalmente es bastante abstracta y compleja y no es algo que yo recomendaría tratar de entender mientras se hace el cálculo o el análisis real. Sin embargo, una lectura rápida proporcionará una buena aclaración. Para ello, sugiero la lectura de este excelente artículo del blog math.blogoverflow.com:

Más que infinitesimal: ¿Qué es " $\mathrm{d}x$ "?

que proporciona una excelente explicación de los diferenciales. Lo hace introduciendo formas diferenciales .

Answer 4

Aquí está mi respuesta anterior a una pregunta que no es exactamente la misma, pero puede arrojar luz:

¿Qué es? $dx$ en la integración?

Answer 5

$dy$ se supone que indica algún cambio en el $y$ -variable con respecto a algún cambio en el $x$ -en términos de la línea tangente de la gráfica de la función en un valor dado de $x$ . Intuitivamente, significa el cambio arbitrariamente infinitesimal en la función correspondiente a algún cambio arbitrario infinitesimal en la variable independiente.