¿Cómo medir la curvatura del espacio-tiempo?

Question

Sé que la R.G. cambia nuestra visión del espacio y el tiempo como una superficie única que puede doblarse. Podemos asociar la curvatura del espacio-tiempo como la gravedad creada por la masa de planetas, estrellas... Pero ¿cómo podemos medir la curvatura del espacio-tiempo para calcular, por ejemplo, la posición de una estrella?

Answer 1

Medición de Curvatura

La curvatura puede ser cuantificada por muchos tensores, y sus diversas contracciones dan lugar a una plétora de escalares que describen la curvatura. En la relatividad general, los más comunes son,

• El tensor de curvatura de Riemann, $R^{a}_{bcd}$ que mide hasta qué punto la métrica no es isométrica al espacio Euclidiano plano. En otro sentido, mide el fallo del transporte paralelo.
• El tensor de Ricci, $R_{ab}=R^{c}_{acb}$ que aparece directamente en las ecuaciones de campo de la relatividad general.
• El escalar de Ricci, $R=g^{ab}R_{ab}$, que, de forma informal, cuando es positivo en un punto particular sugiere que una bola alrededor del punto tiene un volumen menor que una bola de radio igual en el espacio Euclidiano.

El tensor de Weyl $C_{abcd}$ mide las fuerzas de marea experimentadas a lo largo de una geodésica. Además, en dimensiones $d\geq 4$, la anulación del tensor de Weyl indica que la métrica es conformemente plana, es decir, una transformación conforme que cambia la métrica por un factor global,

$$g_{ab}\to\Omega^2(x)g_{ab}$$

puede ser usado para hacer la métrica plana. Además, el tensor gobierna si la radiación puede propagarse a través del espacio-tiempo sin contenido material. Finalmente, la descomposición de Ricci se puede usar para expresar la curvatura de Riemann en términos de otras formas de curvatura, que incluyen una pieza de Weyl.

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Materia y Curvatura

Las ecuaciones de campo de Einstein relacionan la curvatura de una variedad espacio-temporal con el contenido de materia:

$$R_{ab}-\frac{1}{2}g_{ab}R + \Lambda g_{ab}=8\pi G T_{ab}$$

donde $\Lambda$ es la constante cosmológica y $T_{ab}$ es el tensor de energía-impulso que describe el contenido de materia, que se deriva del Lagrangiano de la materia. Como ejemplo, supongamos que teníamos algo de materia con una energía particular, entonces una de las entradas sería $T_{00}=\epsilon$, donde $\epsilon$ es la densidad de energía. Una descomposición general del tensor se da aquí. A menudo no podemos resolver las ecuaciones exactamente para un sistema particular. En este caso recurrimos a la teoría de perturbaciones, donde perturbamos linealmente un fondo conocido, es decir,

$$g_{ab}\to g_{ab}+h_{ab} +\mathcal{O}(h^2)$$

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Movimiento de Partículas de Prueba

El movimiento de una partícula de prueba en una variedad espacio-temporal está gobernado por la ecuación geodésica,

$$\frac{\mathrm{d}^2 x^\alpha}{\mathrm{d}s^2} + \Gamma^\alpha_{\beta \gamma} \frac{\mathrm{d}x^\beta}{\mathrm{ds}}\frac{\mathrm{d}x^\gamma}{\mathrm{d}s} = 0$$

donde $\Gamma^{a}_{bc}$ son los símbolos de Christoffel, es decir, la conexión de Levi-Civita expresada en la base de coordenadas, con el supuesto de que el tensor métrico es sin torsión. El concepto general es que las geodésicas son los caminos naturales que seguirán las partículas de prueba a lo largo de una variedad. Por ejemplo, para el espacio de Minkowski plano, la conexión se anula, y por lo tanto obtenemos que $x(s)$ es una función lineal como se esperaba, ya que $x''(s)=0$.

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Ejemplo Físico

La métrica de Schwarzschild describe un contenido de materia esférico, que es estático, es decir, con un vector de Killing $\partial_t$ y simetría $SO(3)$; por ejemplo, podría describir la Tierra o un agujero negro:

$$\mathrm{d}s^2 = \left( 1- {2GM \over r}\right) \mathrm{d}t^2 - \left( 1- {2GM \over r}\right)^{-1}\mathrm{d}r^2 - \underbrace{r^2 \mathrm{d}\theta^2 -r^2 \sin^2 \theta \mathrm{d}\phi^2}_{\text{métrica en la esfera}}$$

Simplemente, por inspección, vemos que ya está en acuerdo con una comprensión clásica de la gravitación ya que posee una singularidad en $r=0$, al igual que la relación clásica $F \propto r^{-2}$. La singularidad en $r=2GM$ refleja que hemos elegido un sistema de coordenadas inapropiado. No es una singularidad de curvatura ni cónica, se puede demostrar que las formas de curvatura no son singulares en $r=2GM$.

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Evidencia para la Relatividad General

El reciente descubrimiento de las ondas gravitacionales proporciona evidencia empírica que apoya la teoría que predijo su existencia. Una onda gravitacional puede viajar a la velocidad $c$, pero también por debajo dependiendo de la amplitud. Esencialmente, emplea el espacio-tiempo como un medio. Una métrica de onda particular:

$$\mathrm{d}s^2 = \mathrm{d}t^2 -\mathrm{d}r^2 + H(t-r,x^1,x^2)(\mathrm{d}t-\mathrm{d}r)^2 - \mathrm{d}(x^1)^2 -\mathrm{d}(x^2)^2$$

donde las condiciones en $H$ están determinadas por la demanda de que el tensor de energía-impulso se anule para asegurar que las ondas sean verdaderamente puramente gravitacionales, en lugar, por ejemplo, electromagnéticas. Específicamente, $\Delta H = 0$, donde $\Delta$ es el laplaciano con coordenadas $x^1,x^2$.

Answer 2

Si quieres una medición directa y física de curvatura, aquí tienes un plan que requeriría mucho dinero y décadas, posiblemente siglos, para establecer. ¡Perfecto para la física!

Lo que necesitas son tres satélites equipados con láseres, detectores de luz, capacidades de puntería de precisión y comunicación por radio. Estos tres satélites se lanzan al espacio y se posicionan lejos unos de otros de manera que formen los puntos de un triángulo muy grande. Los satélites luego encienden dos láseres cada uno, apuntando a los otros dos. Cada satélite informa a los otros cuando recibe la luz láser. Una vez que los satélites estén informando que ven la luz láser de los otros, miden el ángulo entre sus propios dos rayos láser. Cada satélite transmite este ángulo de regreso a la sede en la Tierra.

La curvatura general del espacio se puede determinar a partir de estos ángulos. Si la suma es de 180 grados, como aprendiste en la clase de geometría, entonces el espacio alrededor de los satélites es plano.

Si la suma es superior a 180 grados, entonces el espacio tiene curvatura positiva allí, como la superficie de una esfera. Puedes imaginar la situación en la Tierra trazando una línea desde el Polo Norte hasta el ecuador, continuando un cuarto del camino alrededor del mundo a lo largo del ecuador, y luego regresando al Polo Norte. Acabas de dibujar un triángulo con tres ángulos de 90 grados para una suma de 270.

Si la suma de los ángulos es menor a 180, la región del espacio tiene curvatura negativa como una silla de montar.

Supongamos que los satélites rodean una estrella. Dado que la luz se curva hacia las masas, los satélites tendrán que apuntar lejos de la estrella para que la luz se curve alrededor de la estrella y golpee a los otros satélites. Esto significa que los ángulos del triángulo resultante serán más grandes de lo normal (es decir, espacio plano), lo que significa que la suma será mayor de 180 grados. Por lo tanto, podemos concluir que el espacio tiene curvatura positiva cerca de una masa.

La relación exacta entre la suma de los ángulos del triángulo y la curvatura total dentro de ese triángulo se da por $$\sum\limits^3_{i=1} \theta_i = \pi + \iint_T K dA$$ donde $\theta_i$ es el ángulo medido en cada satélite (medido en radianes), $T$ es la superficie triangular 2D definida por los tres satélites siendo integrada, $K$ es la curvatura gaussiana en cada punto del triángulo, y $dA$ es el área infinitesimal con curvatura $K$. Para una región de espacio con curvatura total cero, los ángulos sumarán $\pi$ radianes (180$^\circ$). La curvatura positiva lleva a una suma mayor que $\pi$, la curvatura negativa a una suma menor que $\pi$.

Para ilustrar el experimento, imagina que estos tres satélites se despliegan en el espacio profundo, lejos de cualquier fuente de gravedad, y se sitúan de manera que estén a igual distancia unos de otros. Los láseres rebotando entre ellos entonces formarán los lados de un triángulo equilátero, así:

Los puntos rojos son los satélites, y las líneas azules son los rayos láser. Cada ángulo es de 60 grados, lo que significa que la suma de los ángulos es de 180 grados, lo que indica espacio plano.

Ahora imagina que los satélites se colocan en la misma formación, pero rodeando un agujero negro, como muestra la siguiente ilustración.

Debido a la intensa gravedad del agujero negro, los satélites tienen que apuntar sus láseres lejos del agujero negro para golpear a los otros satélites. Esto significa que el ángulo entre los láseres es mayor de 60 grados, lo que significa que la suma de los ángulos del triángulo es mayor de 180 grados. Esto indica que el espacio que contiene el agujero negro tiene curvatura total positiva.

Una medida final interesante es medir la curvatura del espacio un poco alejado del agujero negro. Coloca los satélites en formación cerca de un agujero negro, como se ilustra a continuación.

Los láseres del satélite más alejado del agujero negro se ven menos afectados debido a la gravedad más débil en esa región, por lo que el ángulo es solo un poco mayor de 60 grados. Los otros dos satélites necesitan ajustar más sus láseres debido a la mayor curvatura inducida por el agujero negro. Por lo tanto, los ángulos en los satélites más cercanos al agujero negro son substancialmente menores de 60 grados, lo que significa que la suma de los ángulos de este triángulo es menor de 180 grados. Esto indica que la curvatura del espacio cerca pero no dentro de un agujero negro es negativa.

A partir de todo esto, podemos concluir que la curvatura total del espacio dentro de un agujero negro es positiva, la curvatura total del espacio que rodea el agujero negro es negativa. A medida que los satélites se alejan cada vez más del agujero negro, la gravedad se debilita cada vez más, por lo que la suma de los ángulos del triángulo formado por los láseres se acerca cada vez más a 180 grados. Esto significa que la curvatura total de todo el espacio fuera del agujero negro es exactamente opuesta a la curvatura dentro del agujero negro (suponiendo que el agujero negro sea lo único en el universo).

Curiosamente, actualmente existe un experimento similar en fase de prototipo que está siendo llevado a cabo por la Agencia Espacial Europea (ESA) y NASA llamado eLISA. Esta misión es diferente porque está destinada a medir ondas gravitacionales en lugar de la gravedad directamente e implica medir las distancias entre los satélites en lugar del ángulo.

Answer 3

Siguiendo la descripción de Synge de un "detector de curvatura de cinco puntos" 1 y su generalización (por ejemplo, como se indica en [2]), la curvatura de cinco participantes ($A$, $B$, $N$, $P$, $Q$) que fueron y permanecieron (cromo-geométricamente) rígidos entre sí (es decir, encontrando ratios constantes de duración de ping) se mide como el valor numérico real $\kappa_5$ para el cual el determinante de Gram correspondiente se anula; es decir, como solución de

0 = $ \Tiny{ \begin{array}{|ccccc|} 1 & \text{Cos[} \sqrt{ \kappa_5 \frac{A \, B}{B \, A} } \text{]} & \text{Cos[} \sqrt{ \kappa_5 \frac{A \, N}{A \, B} \frac{A \, N}{B \, A} } \text{]} & \text{Cos[} \sqrt{ \kappa_5 \frac{A \, P}{A \, B} \frac{A \, P}{B \, A} } \text{]} & \text{Cos[} \sqrt{ \kappa_5 \frac{A \, Q}{A \, B} \frac{A \, Q}{B \, A} } \text{]} \, \, \\ \, \, \text{Cos[} \sqrt{ \kappa_5 \frac{B \, A}{A \, B} } \text{]}& 1 & \text{Cos[} \sqrt{ \kappa_5 \frac{B \, N}{A \, B} \frac{B \, N}{B \, A} } \text{]} & \text{Cos[} \sqrt{ \kappa_5 \frac{B \, P}{A \, B} \frac{B \, P}{B \, A} } \text{]} & \text{Cos[} \sqrt{ \kappa_5 \frac{B \, Q}{A \, B} \frac{B \, Q}{B \, A} } \text{]} \, \, \\ \, \, \text{Cos[} \sqrt{ \kappa_5 \frac{N \, A}{A \, B} \frac{N \, A}{B \, A} } \text{]} & \text{Cos[} \sqrt{ \kappa_5 \frac{N \, B}{A \, B} \frac{N \, B}{B \, A} } \text{]} & 1 & \text{Cos[} \sqrt{ \kappa_5 \frac{N \, P}{A \, B} \frac{N \, P}{B \, A} } \text{]} & \text{Cos[} \sqrt{ \kappa_5 \frac{N \, Q}{A \, B} \frac{N \, Q}{B \, A} } \text{]} \, \, \\ \, \, \text{Cos[} \sqrt{ \kappa_5 \frac{P \, A}{A \, B} \frac{P \, A}{B \, A} } \text{]} & \text{Cos[} \sqrt{ \kappa_5 \frac{P \, B}{A \, B} \frac{P \, B}{B \, A} } \text{]} & \text{Cos[} \sqrt{ \kappa_5 \frac{P \, N}{A \, B} \frac{P \, N}{B \, A} } \text{]} & 1 & \text{Cos[} \sqrt{ \kappa_5 \frac{P \, Q}{A \, B} \frac{P \, Q}{B \, A} } \text{]} \, \, \\ \, \, \text{Cos[} \sqrt{ \kappa_5 \frac{Q \, A}{A \, B} \frac{Q \, A}{B \, A} } \text{]} & \text{Cos[} \sqrt{ \kappa_5 \frac{Q \, B}{A \, B} \frac{Q \, B}{B \, A} } \text{]} & \text{Cos[} \sqrt{ \kappa_5 \frac{Q \, N}{A \, B} \frac{Q \, N}{B \, A} } \text{]} & \text{Cos[} \sqrt{ \kappa_5 \frac{Q \, P}{A \, B} \frac{Q \, P}{B \, A} } \text{]} & 1 \, \, \end{array} } $,

donde el ratio de duración de ping medido cronometrícamente $\frac{A \, B}{B \, A}$ es la razón entre la duración de $A$ desde que ha indicado una señal hasta haber observado el reflejo correspondiente (o "eco de ping") de $B$ y la duración de $B$ desde que ha indicado una señal hasta haber observado el reflejo correspondiente de $A",
la proporción de duración de ping medida cronográficamente $\frac{A \, N}{A \, B}$ es la relación entre la duración de $A$ desde que ha indicado una señal hasta haber observado el reflejo correspondiente de $N$ y la duración de $A$ desde que ha indicado una señal hasta haber observado el reflejo correspondiente de $B",
la proporción de duración de ping medida cronográficamente $\frac{A \, N}{B \, A}$ es la relación entre la duración de $A$ desde que ha indicado una señal hasta haber observado el reflejo correspondiente de $N$ y la duración de $B$ desde que ha indicado una señal hasta haber observado el reflejo correspondiente de $A", con $\frac{A \, N}{B \, A} := \frac{A \, N}{A \, B} \frac{A \, B}{B \, A}$, y así sucesivamente.

De manera similar, los valores de curvatura $\kappa_n$ pueden determinarse para cualquier conjunto de $n$ participantes mutuamente rígidos (sensatamente para $n \ge 4$).

Ya se ha preguntado si y cómo los valores de curvatura "discretos" medidos de $\kappa_n$ en general, y de $\kappa_5$ en particular, pueden relacionarse con tensores de curvatura (o escalares correspondientes) que se consideran en geometría diferencial en este enlace.

EDICIÓN (en respuesta a los comentarios):

Como ilustración del caso más simple, el valor $\kappa_4$ que expresa la curvatura "discreta" para 4 participantes dados que son mutuamente rígidos (como generalmente se requiere) y que incluso están en reposo entre sí, es decir, tal que $\frac{A \, B}{B \, A} = 1$, $\frac{A \, C}{C \, A} = 1$, y así sucesivamente,
considera el "cuadrilátero esférico con vértices $A_1$, $B_1$, $I_{20}$, $I_{10}$" en esta imagen:

Si los valores requeridos de las proporciones de duración de ping entre esos cuatro participantes son iguales a las razones de longitudes de arco de círculo máximo entre esos vértices,
entonces el valor $\kappa_4$ para el cual el determinante de Gram de cuarto orden correspondiente se anula es igual a

$\kappa_4 = \left( \frac{A_1 \, B_1}{ R/c } \right)^2$,

donde $R$ es el radio de la esfera, y $c$ la "velocidad de la luz".

Referencias:

[1.] J.L.Synge, "Gravitation. The general theory"; ch. XI, §8: "A five-point curvature detector".

[2.] S.L.Kokkendorff, "Gram matrix analysis of finite distancé spaces in constant curvature" (Discrete and Computational Geometrie 31, 515, 2004).

Answer 4

Existen efectos medibles de la curvatura del espacio-tiempo debido a una estrella: la precesión del perihelio de Mercurio y la desviación de la luz al pasar cerca del sol, por ejemplo. De hecho, estos fueron los primeros efectos de la Relatividad General que se confirmaron experimentalmente.

Incluso existen efectos medibles de la curvatura del espacio-tiempo debido a la Tierra: el corrimiento al rojo de la luz al salir del pozo gravitacional, la dilatación del tiempo de los relojes en tierra en comparación con los relojes en órbita (que el GPS tiene que corregir), y el arrastre del marco recién medido por Gravity Probe B.

Todas estas cosas pueden actuar como medidas del grado de curvatura del espacio-tiempo cerca de un objeto.

Answer 5

∆A+∆B+∆C = 180 en un espacio plano. Sin embargo, un triángulo que se mide alrededor de la tierra tendría ángulos que suman una respuesta que es menor a 180º. Esto se debe a que el espacio está curvado hacia abajo como una silla de montar por la masa.