¿Hay alguna forma posible de resolver esta ecuación?

Question

Así que se me ocurrió esta ecuación y parece que no puedo resolverla en absoluto para ' $a$ '

$$a*b^a = c$$

EDIT: Por cierto, sólo estoy tomando $b^a$ , no las dos cosas $b$ y $a$ por si alguien estaba confundido. Obviamente, yo habría puesto paréntesis alrededor de $a$ y $b$ . Sólo trato de ser lo más específico posible.

No sé por qué no puedo resolverlo. Lo pongo en la calculadora gráfica Desmos en forma de ' $f(x) = x*a^x$ ' donde ' $a$ ' es algún número. No hay ningún punto en el que sea indefinido y es una función plausible. Entonces, ¿hay alguna manera de resolver esto? Obviamente no se puede resolver usando sólo logaritmos.

Answer 1

La función W de Lambert se define como la función inversa de $\color{Blue}{x}e^{\color{Blue}{x}}$ . Es una función especial trascendental que no tiene una forma cerrada en términos de funciones elementales. Utilizándola, tenemos

$$\begin{array}{ll} & a\,b^a=c \\ \iff & a\,e^{(\ln b)a}=c \\ \iff & \color{Blue}{(\ln b)a}\,e^{\color{Blue}{(\ln b)a}}=c\ln b \\ \iff & (\ln b)a=W(c\ln b) \\ \iff & a=\frac{1}{\ln b}W(c\ln b). \end{array} $$

Answer 2

La solución explícita viene dada por la función de Lambert, tal y como contestó whacka.

Si no puede usar (o no quiere usar) esta función, entonces sólo los métodos numéricos resolverían el problema. Pero en primer lugar, en el dominio real, debes saber que $W(x)$ sólo se define si $x \geq -\frac 1e$ y que es de doble valor en si $ -\frac 1e\leq x\lt 0 $ .

La página de Wikipedia dedicada a Función de Lambert da fórmulas para aproximar $W(x)$ para un determinado $x$ así como los esquemas iterativos de Newton y Halley para obtener soluciones rápidas y fiables.