¿Por qué son mínimas las superficies K3?

Question

Necesito demostrar que todas las superficies K3 son superficies mínimas, de modo que todo mapa birracional entre superficies K3 es un isomorfismo. He empezado a leer el libro de Beauville sobre superficies algebraicas complejas: allí dice que el hecho de que las superficies K3 sean mínimas viene de la definición ( $K=0$ y $H^{1,0}(X)=0$ ), pero no veo por qué. ¿Conoces la prueba o dónde puedo encontrarla?

Answer 1

Lo que dice Beauville es que "[c]learly, $K\equiv 0$ implica que son mínimas".

Una superficie $S$ es mínimo si cualquier morfismo birracional $S\to S'$ a cualquier otra superficie $S'$ es un isomorfismo. Así, supongamos que algún K3, digamos $S,$ no es mínimo. Esto significa, por definición, que existe un morfismo birracional $S\to S'$ que no es un isomorfismo. Por el Teorema II.11 de Beauville, tal morfismo puede factorizarse como una secuencia (finita, no nula) de expansiones en un punto, y por la Proposición II.3(iv), $K_S$ es una combinación lineal efectiva no nula de los pullbacks de los divisores excepcionales de los blowups sucesivos más la transformada estricta de $K_{S'}$ . Desde $\operatorname{Pic}(S)=\operatorname{Pic}(S')\oplus \mathbb Z^m,$ donde $m$ es el número de ampliaciones, se obtiene $K_S\neq 0$ (es decir, no podemos cancelar por equivalencia lineal) por lo tanto la contradicción, por lo tanto el K3 debe ser mínimo.

Answer 2

He aquí una prueba topológica. Nota, estoy seguro de que este no es el argumento Beauville tenía en mente.

Sea $M$ sea una colector de espín cuatridimensional cerrado y orientado (por tanto $w_1(M) = w_2(M) = 0$ ), entonces $M$ tiene forma de intersección uniforme. Esto se deduce de la fórmula de Wu que establece que en una cuatro-manifold cerrado, $x \cdot x = \nu_2\cdot x$ para todos $x \in H^2(M; \mathbb{Z}_2)$ donde $\nu_2 = w_1(M)^2 + w_2(M)$ es la segunda clase Wu. En particular, no existe ningún elemento $y \in H^2(M; \mathbb{Z})$ con $y\cdot y = -1$ .

Por lo tanto, tenemos lo siguiente:

Si $M$ es una superficie compleja compacta que es espín, entonces $M$ es mínima.

Si $M$ es un $K3$ superficie, entonces $c_1(M) = -c_1(K) = 0$ Así que $w_2(M) = 0$ . En $K3$ superficies giran, son mínimas.

Obsérvese que la inversa de la afirmación anterior no es cierta; existen superficies complejas compactas mínimas que no son espín, por ejemplo. $\mathbb{CP}^2$ . Existen incluso ejemplos de superficies complejas compactas mínimas $M$ con un elemento $y \in H^2(M; \mathbb{Z})$ tal que $y\cdot y = -1$ . Por ejemplo, las superficies de Hirzebruch $\Sigma_{2n+1}$ para $n > 0$ son superficies mínimas que son difeomorfas (pero no biholomorfas) a la ampliación de $\mathbb{CP}^2$ en un punto, a saber $\mathbb{CP}^2\#\overline{\mathbb{CP}^2} = \Sigma_1$ .