¿En qué sentido la integral de trayectoria es una formulación independiente de la mecánica cuántica/teoría de campos?

Question

Todos conocemos la versión de la mecánica cuántica basada en el espacio de estados, los operadores, la ecuación de Schrodinger, etc. Esto nos permite calcular con éxito cantidades físicas relevantes, como los valores de expectativa de los operadores en determinados estados, y luego comparar con el experimento.

Sin embargo, a menudo se afirma que la integral de trayectoria es una forma "equivalente" de hacer todo esto. Para mí, la parte "equivalente" es un poco vaga. Entiendo que la integral de trayectoria de Feynman permite calcular el propagador $\langle x | e^{-iHt} |x' \rangle $ utilizando simplemente el Lagrangiano clásico del sistema. Entonces, cualquier valor de la expectativa en un estado puede calcularse mediante dos resoluciones de la identidad para obtener una integral sobre este propagador. Esto muestra que la integral de trayectoria es una forma de calcular una cantidad que es muy útil, pero no mucho más que eso, ya que todavía necesitamos el concepto de operadores, y su representación en el espacio de posición, así como las funciones de onda del espacio de posición, todos estos objetos junto con sus interpretaciones habituales.

En última instancia, independientemente de cómo se calculen las cosas, la MQ seguirá basándose en las probabilidades y, por tanto, en las funciones de onda; sin embargo, mi pregunta es si hay algo análogo a los axiomas de la mecánica cuántica que se suelen mencionar en los libros de texto y que se basan en la integral de trayectoria.

La integral de la trayectoria si se ve como un objeto independiente nos da el propagador, las funciones de correlación y la función de partición (y quizás otros objetos que desconozco). ¿Son todos ellos suficientes para darnos la misma información que nos da la mecánica cuántica basada en el espacio de Hilbert y los operadores? Agradecería mucho si alguien puede precisar estas conexiones.

Answer 1

En el contexto de la teoría cuántica de campos axiomática, existe un teorema (véase el teorema 3-7 en PCT, giros y estadísticas, y todo eso de Streater y Wightman, a los que me referiré como "SW"), que SW llama el "teorema de la reconstrucción", que esencialmente afirma que las funciones de correlación sirven para determinar completamente una teoría de campo correspondiente en el formalismo del Espacio de Hilbert. En concreto, demuestran que (parafraseo para abreviar)

Dada una secuencia $\mathscr W^{(n)}$ de distribuciones templadas definidas por $n$ puntos del espacio-tiempo (funciones de correlación) que satisfacen ciertas propiedades técnicas (descomposición en racimos, ley de transformación relativista, etc.) existe un espacio de Hilbert separable $\mathscr H$ una representación unitaria continua $U$ de $\mathbb R^{3,1}\rtimes \mathrm{SO}^+(3,1)$ (el grupo de Poincare propio y ortogonal) en $\mathscr H$ un único estado de vacío invariante de Poincare $|0\rangle$ y un campo escalar hermitiano $\phi$ con un dominio apropiado tal que \begin{align} \langle 0|\phi(x_1)\cdots \phi(x_n)|0\rangle = \mathscr W^{(n)}(x_1, \dots, x_n) \end{align} Además, cualquier otra teoría de campo con estos valores de expectativa de vacío (vevs) es unitaria equivalente a ésta.

En otras palabras, los vevs determinan una teoría de campos hasta la equivalencia unitaria, y una secuencia de funciones de correlación suficientemente bien comportada determina completamente una teoría de campos con vevs dados, por lo que los correladores determinan una teoría de campos hasta la equivalencia unitaria.

Lo mejor. Dado que la integral de trayectoria permite calcular en principio todos los correlacionadores mediante la fórmula (algo esquemática) \begin{align} \langle \phi(x_1)\cdots \phi(x_n)\rangle = \frac{\int [d\phi] \phi(x_1)\cdots \phi(x_n)e^{i S[\phi]}}{\int [d\phi] e^{i S[\phi]} } \end{align} la integral de trayectoria da una caracterización completa de una teoría de campo dada.

Nota. No soy en absoluto un experto en teoría cuántica de campos axiomática, así que si he dicho algo aquí que no es estrictamente, matemáticamente correcto, me disculpo de antemano. Además, no estoy seguro de lo general que es la caracterización de SW de la teoría de campos, así que mis observaciones no son completamente generales, pero creo que el espíritu de estas observaciones es válido para todas (o la mayoría) de las teorías físicas de campos cuánticos.

Además, esta no es una respuesta especialmente física. Me gustaría que otro usuario me explicara la intuición física que hay detrás de la idea de que los correlacionadores son tan fundamentales y omnipresentes.

Answer 2

En definitiva, las cantidades que hay que calcular, y comparar con la realidad son las probabilidades o probabilidades de transición, que son el cuadrado de las amplitudes o amplitudes de transición. El formalismo de la integral de trayectoria representa directamente las amplitudes de transición. En mecánica cuántica, se puede recuperar la ecuación de Schrodinger a partir de la expresión de la integral de trayectoria que representa la amplitud de transición $\langle x',t'|xt\rangle$ . Tienes, para las "funciones de onda", la ecuación integral $\langle x',t'|\psi \rangle = \int dx \langle x',t'|xt\rangle \langle x,t|\psi \rangle$ con la expresión $\langle x',t'|xt\rangle = \int [dC] e^{iS(C)}$ , donde $C$ es un camino desde $x$ a $x'$ , $t$ a $t'$ y $S(c)$ es la acción para este camino - y tomando el límite $t' \to t$ te dará la ecuación de Schrodinger.

El formalismo cuántico que se utilice (formalismo de la integral de trayectoria, formalismo del operador, representación de Schrodinger/Heinsenberg, etc.), es secundario, en el sentido de que estos formalismos son equivalentes. Es muy interesante estudiar diferentes formalismos, pero, en la práctica, dependiendo de tu problema, elegirás el más sencillo.

Tomemos el ejemplo de la oscilador armónico cuántico . Tienes diferentes estados propios $\psi_n(x,t)$ correspondientes a las energías $(n+ \dfrac{1}{2})\hbar \omega$ . Supongamos que se quiere calcular la probabilidad de transición : $|\langle\psi_{n}|X| \psi_{n+1}\rangle|^2$ . Puede imaginarse haciendo la integral en $x$ con las expresiones de $\psi_n(x,t),\psi_{n+1}(x,t)$ . Trabajarás con las "funciones de onda" y la representación de Schrodinger. Ahora es mucho más interesante, en este caso particular, trabajar con la representación de Heinseberg, con un operador $X(t)$ . La ecuación del operador $X(t)$ es simplemente $\ddot X(t) + \omega^2 X(t)=0$ con las restricciones de Heinsenberg: $[X(t), P(t')]_{t=t'} = i \hbar$ . Una solución es $X(t) = \sqrt{\dfrac{\hbar}{m \omega}}(a e^{i \omega t} + a^+e^{-i \omega t})$ y, en la base energética, los términos no nulos de $a$ son $a_{n,n+1} = \sqrt{n+1}$ . Ahora, la probabilidad que buscamos es simplemente $|X_{n,n+1}|^2 = \dfrac{\hbar}{m \omega}(n+1)$ .

[De hecho, para entender correctamente la mecánica cuántica, es mejor pensar en términos de representación de Heinseberg, que de representación de Schrodinger. Por ejemplo, en la Teoría Cuántica de Campos, se trabaja en una "representación de Heinsenberg", es decir: se trabaja con operadores $\Phi(x,t)$ dependiendo del espacio y el tiempo, no se suele trabajar con funciones de onda $\psi(\Phi,x,t)$ - incluso si este formalismo es posible].

Ahora, volviendo a las integrales de trayectoria, es la misma lógica. Si consideras, por ejemplo, la QFT, dependiendo de tu problema, podría ser más interesante utilizar el formalismo de integrales de trayectoria, o utilizar el formalismo de operadores (canónico). Por ejemplo, puedes querer calcular la energía del vacío para un campo bosónico o un campo fermiónico. Es más sencillo utilizar el formalismo del operador, pero también se puede utilizar el formalismo integral de trayectoria (véase, por ejemplo, Zee, QFT in a nutshell Chapter II.5 p 121/126, primera edición), y se encontrará el mismo resultado.

Si quieres calcular las Funciones de Verde y los propagadores, es totalmente natural utilizar el formalismo de la trayectoria integral, por ejemplo en una teoría de campo perturbativa, y esto conduce naturalmente a los diagramas de Feynmann, y los diagramas de Feynmann es que necesitas calcular las amplitudes de transición y las probabilidades de transición, en el proceso de las partículas de colisión.