Holomorfo en disco pequeño con potencia polinómica

Question

Dejemos que $f(z)$ sea holomorfo en $|z|<R$ , $f'(z)\neq 0$ y $n>0$ es un número entero. Demuestre que existe $r>0$ y $g(z)$ holomorfo en $|z|<r$ tal que $f(z^n)=f(0)+g(z)^n$ .

El teorema del mapeo local dice que si $f(z)-f(0)$ tiene un cero de orden $n$ en $0$ entonces podemos elegir $r$ para que exista $\epsilon$ tal que para todo $a$ con $|a-f(0)|<\epsilon$ la ecuación $f(z)=a$ tiene exactamente $n$ raíces en el disco $|z|<r$ .

Aquí, $f(z^n)-f(0)$ tiene un cero de orden al menos $1$ ya que $f(0)-f(0)=0$ pero ¿sabemos exactamente qué orden tiene?

Answer 1

Desde $f$ es holomorfa en el disco $U:=\{z\in\mathbb C:\left|z\right|<R\}$ existe una secuencia $(a_k)$ de números complejos tal que : $$\forall z\in U,\ f(z)=\sum_{k=0}^{+\infty} a_k z^k$$

Dejemos que $h:z\mapsto f(z^n)-f(0)$ . Tenemos $h(0)=0$ . Puedes escribir :

$$\forall z\in U,\ h(z)=\sum_{k=1}^{+\infty}a_kz^{nk}=z^n \tilde{h}(z)$$

Donde $\tilde{h}:z\mapsto\displaystyle\sum_{k=0}^{+\infty}a_{k+1}z^{nk}$ es holomorfo en $U$ y $\tilde{h}(0)=a_1=f'(0)\neq 0$ .

Por lo tanto, $0$ es un cero de $h$ de orden $n$ .

Answer 2

Esto es un complemento a la respuesta de Philippe Malot.

Hay una $r >0$ tal que $\tilde{h}$ es distinto de cero en el disco $D(r)=\lbrace z | |z| \leq r\rbrace$ .

Como explica Wikipedia aquí podemos entonces construir un logaritmo holomorfo $\tilde{g}$ de $\tilde{h}$ en $D(r)$ para que ${\sf exp}({\tilde{g}})=\tilde{h}$ en $D(r)$ .

A continuación, puede tomar $g(z)=z{\sf exp}\bigg({\frac{\tilde{g}(z)}{n}}\bigg)$ .