Deje $M$ $N$ ser finitely generadas $R$-los módulos donde se $R$ dominio principal. Mostrar que si $M \oplus M \simeq N \oplus N$ $M \simeq N.$
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rschwieb
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Aplicar principal de la descomposición de estos módulos.
Claramente, el principal de la descomposición de $M\oplus M$ es sólo el principal de la descomposición de $M$ "duplicado" en el sentido de que todos los factores que aparecen dos veces como muchas veces en la descomposición de la $M\oplus M$ como lo hacen en $M$. Podemos estar seguros de esto porque el "duplicado" de descomposición de la $M$ ofrece claramente una descomposición de $M\oplus M$, y se nos garantiza la unicidad de los tipos y las multiplicidades de las piezas en la descomposición vinculado teorema.
Supongamos $M\ncong N$. Entonces, al menos, sucede una de dos cosas:
- $M$ tiene un indecomposable principal pieza que $N$ no tiene; o
- Todos los indecomposable piezas principales de $M$ $N$ son los mismos, ellos sólo se diferencian en el número.
En el caso #1, $M\oplus M$ también tendría indecomposable principal pieza que $N\oplus N$ carece, por lo que sería nonisomorphic. En el caso #2, se puede afirmar que las multiplicidades de la principal elemento que difieren en $N$ $M$ producción de diferentes multiplicidades en $M\oplus M$$N\oplus N$, de nuevo haciendo de ellos nonisomorphic.
Esto demuestra el contrapositivo de la declaración.
Otra forma de decirlo es considerar que el isomorfismo de la clase de un finitely generados por el módulo de $M$ más de un PID $R$ está determinada únicamente por la secuencia de sus factores invariantes $$ (a_{1}) \supseteq (a_{2}) \supseteq \dots \supseteq (a_{k}), $$ con todos los $a_{i}$ no las unidades, y $$ M \cong \bigoplus_{i=1}^{k} \frac{R}{(a_{i})}. $$ Claramente la secuencia de invariantes factores de $M \oplus M$ es sólo $$ (a_{1}) \supseteq (a_{1}) \supseteq (a_{2}) \supseteq (a_{2}) \supseteq \dots \supseteq (a_{k}) \supseteq (a_{k}). $$ Ahora haga lo mismo para $N$$N \oplus N$, y comparar.
