Gerry Myerson publicó una buena respuesta utilizando la teoría de Galois, pero pensé en publicar una respuesta elemental gracias a la sugerencia de Greg Martin de sustituir sin(x) por su expresión exponencial.
$$ \sum_{j=0}^{k-1} \sin^{2n}(\frac{j\pi}{k}) = \sum_{j=0}^{k-1} \left( \frac{e^{\frac{j i \pi}{k}} - e^{-\frac{ji\pi}{k}}}{2i}\right)^{2n} = \frac{1}{(2i)^{2n}} \sum_{j=0}^{k-1} \sum_{m=0}^{2n} {2n\choose m}\left(e^{\frac{j i \pi}{k}}\right)^{m} \left(-e^{-\frac{j i \pi}{k}}\right)^{2n-m} $$ $$ = \frac{1}{(-4)^n}\sum_{m=0}^{2n} {2n\choose m}(-1)^m \sum_{j=0}^{k-1} e^{\frac{j(2m-2n)i\pi}{k}} $$
Esta última suma (más de $j$ ) es una suma de raíces de la unidad - específicamente, si $d = GCD(m-n,k)$ la última suma es la suma de los $\frac{k}{d}$ raíces de la unidad $d$ veces. Así que la suma es igual a 0, excepto cuando $d=k$ en cuyo caso todos los términos son $1$ y la suma es $k$ . Esto implica que el sumando de la suma sobre $m$ es un número entero, por lo que toda la expresión es un número entero dividido por $4^n$ .
En el caso de que $n < k$ obtenemos la sencilla expresión
$$ \frac{1}{(-4)^n} {2n\choose n}(-1)^n k = \frac{1}{4^n} {2n\choose n} k $$
Para el problema original que planteé, tenemos
$$ 2 \sum_{j=1}^{89} \sin^{2n}\left(\frac{\pi i}{180}\right) + 1 = \sin^{2n}(0) + \sum_{j=1}^{89} \sin^{2n}\left(\frac{\pi i}{180}\right) + \sin^{2n}(\frac{90\pi}{180}) + \sum_{j=91}^{179} \sin^{2n}\left(\frac{\pi i}{180}\right) $$ $$ =\sum_{j=0}^{179} \sin^{2n}\left(\frac{\pi i}{180}\right) $$
y hemos demostrado que la última suma es un cociente diádicoanl, por lo que $\sum_{j=1}^{89} \sin^{2n}\left(\frac{\pi i}{180}\right)$ también es un racional diádico.
