Es $(p \to q) \to r$ lógicamente equivalente a $p \to (q \to r)$?

Question

Es $(p \to q) \to r$ lógicamente equivalente a $p \to (q \to r)$?

Trato simplemente de cada uno, tengo $\lnot ( \lnot p \lor q) \lor r$ $\lnot p \lor ( \lnot q \lor r)$ respectivamente,

entonces estoy atascado. Significa que no son equivalentes?

¿Cómo puedo saber si la expresión no puede ser más simple? Consejos para resolver este tipo de preguntas?

Realmente aprecio sus consejos!

Answer 1

No, compare $(p\implies p)\implies r$, lo que equivale a $r$, e $p\implies (p\implies r)$, lo que equivale a $p\implies r$.

Answer 2

No es. Supongamos que $p$, $q$, $r$ son falsas. A continuación, $p \rightarrow q$ $q \rightarrow r$ son verdaderas, por lo $(p\rightarrow q)\rightarrow r$ es falso e $p\rightarrow (q\rightarrow r)$ es cierto.

Answer 3

Desde que he vuelto a:

$$\lnot ( \lnot p \lor q) \lor r\tag{1}$$ $$ \lnot p \lor ( \lnot q \lor r)\tag{2},$$

en efecto, podemos simplificar aún más. En primer lugar, por la asociatividad, tenga en cuenta que $$\lnot p \lor ( \lnot q \lor r)\equiv (\lnot p \lor \lnot q) \lor r\tag{2} $$

Luego, utilizando las Leyes de DeMorgan,

$$\lnot (\lnot p \lor q) \lor r \equiv (p \land \lnot q) \lor r\tag{1}$$ $$(\lnot p \lor \lnot q) \lor r\equiv \lnot(p \land q) \lor r\tag{2}$$

Por último, sólo tenemos que ver que las cláusulas $$p \land \lnot q \not\equiv \lnot (p \land q)$$ to see that $(1)$ and $(2)$ no son equivalentes,

De hecho, cuando se $p$ es F(falsa), $p \land \lnot q \equiv F$$\lnot(p \land q) \equiv T$, como podemos ver bien a través de las correspondientes tablas de verdad (fuente: Wolfram Alpha):

Answer 4

Buena pregunta!

No.

La segunda declaración, es decir,$$p \rightarrow (q \rightarrow r)$$ can be read: "In the presence of $ p$, we have that $p$ implies $r$."

Resulta que esto es lo mismo que decir: "En la presencia de ambos $p$$q$,$r$." Que es

$$(p \wedge q) \rightarrow r.$$

La primera afirmación es un poco más difícil de poner en palabras. En los comentarios, Señor Farin sugiere la frase: "Si $p$ requiere $q$,$r$."

Un poco de símbolo empujando muestra su equivalente a:

$$(p \vee r) \wedge (q \rightarrow r)$$

que podría arrojar algo de luz sobre su significado. Sustituyendo en la $q = \bot$ (una contradicción) obtenemos

$$(p \vee r).$$

Así que si $p$ requiere una contradicción implica $r$, entonces cualquiera de las $p$ o $r$. Y viceversa.

Answer 5

La segunda fórmula es "si $p$, entonces: si $q$$r$", que es equivalente a "si $p$$q$,$r$". Por lo que es equivalente a $$(p\land q) \implies r.$$

Por otro lado, la primera es la "si $p$ implica $q,$$r$". Como sabemos cualquier implicación "$p$ implica $q$" es equivalente a "no $p$ o $q$", por lo que nuestra fórmula es "si no $p$ o $q$,$r$", que escribe con símbolos es: $$(\neg p \lor q) \implies r.$$

Porque, por supuesto,$\neg p \lor q \not\equiv p \land q$, las dos fórmulas no son equivalentes.