¿Es ((2^2)^2)^2........ = 1 o 0?

Question

dejar $x = (((((2^2)^2)^2)^2)^2)^\cdots$

Por lo tanto, $x^2 = ((((((2^2)^2)^2)^2)^2)^2)^\cdots$

Pero esta es la misma expresión.

Por lo tanto, $x = x^2$

Por lo tanto, $x^2 - x = 0$

Por lo tanto, $x(x-1) = 0$

Por lo tanto, $x = 0$ o $x = 1.$

¿Dónde está el error en este argumento? Supongo que hay un error como potencia repetida de $2$ debería hacer que el número fuera cada vez mayor.

Answer 1

Enunciado $x^2=$ una expresión implica que la expresión está bien definida. Cuando es de longitud infinita, tiene que converger a algo. En este caso, no lo hace.

Answer 2

El error es que estás tratando $((2^2)^2)^2)\dots$ como si fuera un número. "..." en realidad significa algo, y este argumento no reconoce su significado. Para entender lo que suele significar "...", considere el número $0.333...$ . El número $0.333...$ puede escribirse como $$0.333...=\frac{3}{10}+\frac{3}{100}+\frac{3}{1000}+\dots$$ Y lo que en realidad se entiende por este es que el número que se representa simbólicamente por $0.333...$ es el límite de la secuencia $$\{\frac{3}{10},\frac{33}{100},\frac{333}{1000},\dots\}$$ Se puede demostrar con herramientas de cálculo que esta secuencia particular converge, o en otras palabras, que el límite existe (y resulta que es $\frac{1}{3}$ ). Pero si se entiende que "..." se refiere al límite de una secuencia convergente, entonces si ese límite no existe, no tiene sentido usar "...", al menos no y tratarlo como un número. Si quieres abusar de la notación, pero espero que de una manera un poco menos mala, podrías reescribir esto como

$$\infty=((2^2)^2)^2...$$

Ahora no está claro qué significa elevar al cuadrado el lado izquierdo de la ecuación anterior, pero eso sólo pone de manifiesto el poco sentido que tiene elevar al cuadrado el lado derecho y tratar el resultado como un número real.

Answer 3

$\infty$ también es una solución de $x^2 = x$ ya que $\infty^2 = \infty$ . Es la solución correcta en este caso.

Answer 4

Cuando se resuelve una ecuación como x^2 = x para x, se suele especificar implícitamente un campo en el que se encuentra la solución. Normalmente el campo implícito son los números reales, pero esta elección es arbitraria y depende del contexto. Puede elegir todos los números racionales Y la raíz cuadrada de dos (y todos sus múltiplos, y su inverso multiplicativo), por ejemplo.

El infinito no suele estar en este campo implícito. Como tal, su solución candidata, 2^2^2^2 ..., que no converge en los reales, o los números complejos, no es una solución válida.

Si el infinito está en el campo (podría, por ejemplo, estar en el plano proyectivo), hay que establecer reglas para tratarlo. Como has demostrado, estas reglas tendrían que mantener que el infinito es una solución de x^2 - x = 0.