Estoy empezando a aprender acerca de los esquemas y la geometría algebraica en general, pero me estoy encontrando muy difícil de visualizar las cosas. Por ejemplo, afín a los esquemas que se parecen a las variedades se pueden visualizar fácilmente. Pero ¿qué hay de infinitas dimensiones o nonproper cosas? O productos de fibra de esquemas? Así que acaba de lanzar esta pregunta a todos los algebraica de los geómetras: Cuando usted está haciendo su investigación, de la cantidad de sus resultados provienen de la intuición geométrica? Si uno fuera a iniciar la investigación en geometría algebraica, ¿qué le dicen las cosas más importantes es?
Respuestas
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Zack Peterson
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Depende de lo que entendemos por "visualizar"...
Por cosas como propio, separatedness, la finitud, la suavidad, la fibra de los productos, de los vectores de tangentes, etc., Yo normalmente encontrado que es útil para entender en primer lugar el análogo de las cosas por las series y/o (real, diferenciable) colectores. Pero si usted hace esto, usted tiene que tener en cuenta también que la situación de los esquemas generalmente es más sutil que la situación para los conjuntos y colectores; mientras que las situaciones son análogas, a veces no son exactamente análogas. Otro problema es que no siempre se puede saber cuál es el adecuado geometría diferencial análogos de muchos geometría algebraica conceptos son; que no siempre se enunciaron en el uso común de los libros como Hartshorne. Por ejemplo, yo pasé un tiempo muy largo, siendo totalmente confundido por la valuative criterio propio, y no podía recordar la declaración --- hasta que me di cuenta de que el propio corresponde a la compacidad en la geometría diferencial, y que el valuative criterio es análoga a la compacidad secuencial (que es equivalente a la compacidad, para la métrica de los espacios, por ejemplo, colectores) en topología general.
Otra cosa que me parece útil es primero entender las cosas en el marco complejo, antes de pasar a la configuración general. Por ejemplo, el complejo de variedades son ejemplos de complejos colectores; curvas complejas son sólo las superficies de Riemann. La mejor manera, en mi opinión, para tener un mango en por ejemplo finito morfismos es entender lo que son en el caso de curvas complejas: son ramificados cubre de superficies de Riemann.
Aparte: Personalmente, creo que los estudiantes de la geometría algebraica debe tomar un curso sobre las superficies de Riemann antes (o durante) la de tomar un curso en abstracto de la geometría algebraica. Ciertamente, yo deseo que yo había hecho esto. La teoría de superficies de Riemann es muy bonito y creo que realmente ayuda a motivar a algunos de los "grandes teoremas" que normalmente se acumulan en un primer curso en abstracto de la geometría algebraica: por ejemplo de Riemann-Roch y de Riemann-Hurwitz.
Probablemente no es difícil adivinar que yo también creo que los estudiantes de la geometría algebraica debe haber tomado un curso de geometría diferencial antes de tomar un curso en abstracto de la geometría algebraica.
Nils-Anders Nøttseter
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Así, se pidió a 10 preguntas diferentes, y no estoy seguro de lo que quieres decir por "nonproper" ($Spec$ no es la correcta). Pero vamos a ver.
Un esquema es un objeto geométrico, con la práctica - o tal vez sólo por el hábito, uno aprende a visualizar muy bien. Si ya se ve geométricamente $Spec$ de un finitely generado álgebra sobre un campo $k$ (incluyendo álgebra de operadores con nilpotents que se visualicen como "engrosamiento", incluyendo $k$ no algebraicamente cerrado que se puede visualizar como Galois de las órbitas; miró en estos, ¿verdad? estos son pasos importantes), a continuación, usted está casi allí. Agregar algunos otros ejemplos, tales como $Spec(\mathbb Z)$, DVR, una doble cabeza de la serpiente (el primer nonseparated esquema), y ya se sabe hacer un montón de empezar a hacer la investigación.
Infinito-dimensional álgebras? Bueno, supongo que es igual de difícil o fácil de imaginar como infinito-dimensional espacios.
La fibra es un producto perfectamente noción geométrica así, y bastante fácil de visualizar. Comenzaremos con los productos de fibra de conjuntos y el progreso desde allí a través de algunos ejemplos normalizados. El aislamiento de fibra de morfismos es un caso importante. Y luego veamos algunos ejemplos en los que el residuo de los campos del esquema de los puntos de cambio. Aprender la forma más sencilla para calcular el tensor de producto de $A\otimes_R B$ por el uso de generadores y relaciones de $A$, y usted estará listo y funcionando en poco tiempo.
En cuanto al balance de la geometría vs álgebra, supongo que depende de una persona y todo el mundo es diferente. A mi asesor solía decir que la geometría es el primero y, a continuación, después de álgebra de la siguiente manera, y tiendo a estar de acuerdo. Creo que no llega a ninguna parte sin la intuición geométrica.
Pero si usted es serio, en algún momento tendrás una sólida álgebra conmutativa de la fundación. Afortunadamente en estos días hay un montón de buenos libros, comenzando con la muy agradable y primaria "Pregrado álgebra conmutativa" por miles Reid.
ricree
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Sugiero mirar las ilustraciones en La Geometría de los Esquemas por Eisenbud y Harris y la Geometría Algebraica por Hartshorne. Ambos libros tienen muchas cuidadosamente dibujado imágenes de los esquemas que no son las variedades. En general, creo que ayuda a calcular, o al menos tener en cuenta, algunos relativamente simples ejemplos de un fenómeno. Por ejemplo, si desea ver el gráfico de una de morfismos como un producto de fibra sobre la diagonal de la de destino, usted puede intentar el complejo afín a la línea de primera.
No creo que la mayoría de la gente hacer un gran esfuerzo para visualizar infinitas dimensiones esquemas, o incluso complicado finito dimensionales de los esquemas.
RobertTheGrey
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Decidí publicar esto por separado:
un excelente post del blog de Lieven Le Bruyn.
En este post, se analiza en detalle Mumford del dibujo (en el libro rojo) de la "aritmética de la superficie".
Simplemente maravilloso!!
Jeremy Banks
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Una cosa que las otras respuestas no ha abordado todavía es infinito-dimensionalidad. Pero cada álgebra a través de una noetherian anillo es un filtrado colimit de finitely generan álgebras, que puede ser visualizado de forma individual. Por ejemplo, $\mathbf{C}(z)$ es la colimit de los anillos $\mathbf{C}[z][1/f(z)]$, $f(z)$ se ejecuta en más y más altamente divisible distinto de cero polinomios. Por lo que es razonable a la vista $\mathrm{Spec}\ \mathbf{C}(z)$ como el límite de los afín a la línea de perforado por un exhaustivamente el aumento de la familia de los puntos (cerrado!).
De hecho, si no recuerdo la categoría de esquemas [editar: cuasi-compacto y cuasi-separados] es equivalente a la categoría de sistemas proyectivos de los esquemas de finito cuyo mapas de transición son afines. Así que, en cierto sentido básico, de lo finito-dimensional caso de que lo determina todo.
La principal cosa que nunca he sido capaz de encontrar una manera de visualizar es el Frobenius mapa en característica positiva.
