Cómo encontrar un integrante del núcleo de poisson de la ecuación en la mitad superior del plano

Question

En la conferencia nos han demostrado que $\forall f \in L^2(\mathbb{R}^n_+) $ hay un único, $ u $ en el espacio de Sobolev $ H^2(\mathbb{R}^n_+) $ satisfacción $ -\Delta u = f. $

Ahora en nuestra hoja de ejercicio que se nos pide para mostrar que no es una parte integral del kernel $ \Phi $ tal que $ u(x) = \int_{\mathbb{R}^n} \ \Phi (x-y) \ f(y) \ dy $.

Wikipedia me dice que hay un integrante del núcleo y que es de la forma \begin{equation*} \Phi(x) \ = \ const. \ \cdot \ \frac{x_n}{({\sum_{i = 1}^{n} x_i^2})^{n/2}} \end{ecuación*}

Así que ahora a mi pregunta:

¿Cómo se puede demostrar que esto es de hecho una parte integral del núcleo de poisson de la ecuación? En particular, ¿cómo se puede diferenciar bajo el signo integral y "tomar el Laplaciano" de $ \Phi $$ x - y = 0 $ ? Por otra parte, ¿sabe a priori que no tiene que ser una parte integral del núcleo?

Muchas gracias de antemano, realmente agradecería su ayuda!

Saludos

Phil

Answer 1

es muy tarde y, probablemente, usted sabe ya la respuesta, pero en el caso de que otros se preguntan acerca de la misma pregunta, pensé en escribir un par de líneas.

Si usted desea solucionar $-\Delta u=f$$\mathbb{R}^n$,$u(x)=\int_{\mathbb{R}^n}\Phi(x-y)f(y)dy$, donde

$$\Phi(x)= \left\{ \begin{array}{ll} -\frac{1}{2\pi}\mathrm{log}(|x|) & \mbox{if } n = 2 \\ \frac{1}{n(n-2)\alpha(n)}\frac{1}{|x|^{n-2}} & \mbox{if } n \geq 3 \end{array} \right.$$

Una posible referencia es el Capítulo 2.2 de Evans: Ecuaciones Diferenciales Parciales (en particular, pp 20-25). Allí se encuentra un informe detallado de la prueba de esta afirmación en el caso de que $f \in C_{c}^2(\mathbb{R}^n)$, $f$ es dos veces continuamente diferenciable con soporte compacto. En particular, Evans se preocupa acerca de su (justificado) le preocupa "la diferenciación a través de la integral de la señal". Por otro lado, no sé si hay algún argumento para la existencia de esta integral del núcleo a priori.

Sin embargo, como Andrew señalado ya, la integral kernel que usted ha escrito es el núcleo de Poisson para $\mathbb{R}_{+}^{n}$, el cual está diseñado para resolver la ecuación de Laplace ( $\Delta u =0$ )$\mathbb{R}_{+}^{n}$, y NO, como su nombre podría sugerir, de Poisson ecuación ($-\Delta u =f$), que se desea resolver (supuestamente). Si se desea resolver la ecuación de Laplace en $\mathbb{R}_{+}^{n}$ con la condición de límite $u=g$ $\partial \mathbb{R}_{+}^{n}$ en su lugar, entonces la solución es

$$u(x)=\int_{\partial \mathbb{R}_{+}^{n}}K(x,y)g(y)dy$$

donde $K(x,y)$ es el núcleo de Poisson

$$K(x,y)=\frac{2x_{n}}{n\alpha(n)}\frac{1}{|x-y|^{n}}$$

Usted puede leer acerca de todo eso y más, de nuevo, en Evans, el Capítulo 2.2.4.b (en particular, en la página 37).