Si $f^{(n)}(x)$ continua en un cierto punto ,a continuación, $f^{(n)}(x)$ continua a través de una vecindad del punto?

Question

Deje $n$ es un entero no negativo,$f$ diferentiable $n$ veces en un barrio de $x_{0}\in \mathbf{R},(x_{0}-\delta ,x_{0}+\delta ),$ $f^{(n)}(x),$ $n$th derivado de la $f$ ,es continua en a $x=x_{0}.$ Hay un número real $\delta_{1},0<\delta_{1}<\delta,$ tal que $f^{(n)}(x)$ es continua sobre $(x_{0}-\delta_{1} ,x_{0}+\delta_{1} )?$

Al $n=0,$no es la dificultad para encontrar un contraejemplo:

Vamos $$x_{0}=0,\qquad f(x)=\begin{cases} x^{2}& \text{if}\quad x \text { is a irratioanl number},\\ 0& \text{if}\quad x \text { is a rational number}. \end{casos} \quad $$

Ir un paso más allá，necesito encontrar algunos contraejemplos para órdenes superiores, pero estoy perplejo por que .Puede alguien darme consejos sobre cómo empezar? Cualquier ayuda será apreciada.

Answer 1

Sugerencia: Dado $a<b,$ existe un diferenciable $g$ $[a,b]$ tal que $g'$ está delimitada en $[a,b],$ $g'(a) = g'(b)=0,$ y $g'$ es discontinua en a $(a+b)/2.$ $[-1,1]$ podríamos tomar

$$g(x) = (x+1)^2(x-1)^2 x^2 \sin(1/x)$$

(con $g(0) =0$ del curso). Ahora vamos a $a_1 > a_2 > \cdots \to 0.$ Por cada $n$, se puede elegir un $g_n$ $[a_{n+1},a_n]$ que hace el de arriba en ese intervalo de tiempo. Pegar estas $g_n$'s juntos y tal vez verás cómo terminar para un ejemplo en el caso de $n=1.$ (Este debe producir ejemplos de $n> 1$).