Tenga en cuenta que la varianza de la expresión en cuestión es una aproximación. Las coberturas (1981) derivado de la gran varianza de la muestra de $d$ y de aproximación en una configuración general (es decir, múltiples experimentos o estudios), y mi respuesta bastante camina a través de las derivaciones en el papel.
En primer lugar, los supuestos que vamos a utilizar son los siguientes:
Supongamos que tenemos dos grupos de tratamiento, $T$ (tratamiento) y $C$ (control). Deje $Y_{Ti}$ $Y_{Cj}$ ser los puntajes/respuestas/lo que sea de tema $i$ en el grupo $T$ y sujeto a $j$ en el grupo $C$, respectivamente.
Asumimos que las respuestas están distribuidos normalmente y los grupos de tratamiento y control comparten la varianza, es decir,
\begin{align*}
Y_{Ti} &\sim N(\mu_T, \sigma^2), \quad i = 1, \dots n_T \\
Y_{Cj} &\sim N(\mu_C, \sigma^2), \quad j = 1, \dots n_C
\end{align*}
El tamaño del efecto en las que estamos interesados en estimar en cada estudio es $\delta = \frac{\mu_T - \mu_C}{\sigma}$. El estimador del tamaño del efecto vamos a utilizar es
\begin{equation*}
d = \frac{\bar{Y}_T - \bar{Y}_C}{\sqrt{\frac{(n_T - 1)S_T^2 + (n_C - 1)S_C^2}{n_T + n_C - 2}}}
\end{ecuación*}
donde $S_k^2$ el imparcial de la varianza de la muestra por grupo $k$.
Vamos a considerar el gran muestra de las propiedades de $d$.
En primer lugar, tenga en cuenta que:
\begin{equation*}
\bar{Y}_T - \bar{Y}_C \sim N \Bigg( \mu_T - \mu_C, \,\sigma^2\frac{n_T + n_C}{n_T n_C} \Bigg)
\end{ecuación*}
y (se suelta con mi notación):
\begin{equation}
\frac{(n_T - 1)S_T^{2}}{\sigma^2(n_T + n_C - 2)} = \frac{1}{n_T + n_C - 2}\frac{(n_T - 1)S_T^{2}}{\sigma^2} \sim \frac{1}{n_T + n_C- 2}\chi_{n_T - 1}^2 \tag{1}
\end{equation}
y
\begin{equation}
\frac{(n_C - 1)S_C^{2}}{\sigma^2(n_T + n_C - 2)} = \frac{1}{n_T + n_C - 2}\frac{(n_C - 1)S_C^{2}}{\sigma^2} \sim \frac{1}{n_T + n_C- 2}\chi_{n_C - 1}^2 \tag{2}
\end{equation}
Las ecuaciones (1) y (2) llevar a que el hecho de que (de nuevo, se suelta con mi notación):
\begin{equation*}
\frac{1}{\sigma^2}\frac{(n_T - 1)S_T^{2} + (n_C - 1)S_C^{2}}{n_T + n_C - 2} \sim \frac{1}{n_T + n_C - 2}\chi_{n_T + n_C - 2}^2
\end{ecuación*}
Ahora, algunos astutos álgebra:
\begin{align*}
d &= \frac{\bar{Y}_T - \bar{Y}_C}{\sqrt{\frac{(n_T - 1)S_T^2 + (n_C - 1)S_C^2}{n_T + n_C - 2}}} \\\\
&= \frac{\left(\sigma\sqrt{\frac{n_T + n_C}{n_T n_C}}\right)^{-1}(\bar{Y}_T - \bar{Y}_C)}{\left(\sigma\sqrt{\frac{n_T + n_C}{n_T n_C}}\right)^{-1}\sqrt{\frac{(n_T - 1)S_T^2 + (n_C - 1)S_C^2}{n_T + n_C - 2}}} \\\\
&= \frac{\frac{(\bar{Y}_T - \bar{Y}_C) - (\mu_T - \mu_C)}{\sigma\sqrt{\frac{n_T + n_C}{n_T n_C}}} + \frac{\mu_T - \mu_C}{\sigma\sqrt{\frac{n_T + n_C}{n_T n_C}}}}{\left(\sqrt{\frac{n_T + n_C}{n_T n_C}}\right)^{-1}\sqrt{\frac{(n_T - 1)S_T^2 + (n_C - 1)S_C^2}{\sigma^2(n_T + n_C - 2)}}} \\\\
&= \sqrt{\frac{n_T + n_C}{n_T n_C}}\left(\frac{\theta + \delta\sqrt{\frac{n_T n_C}{n_T + n_C}}}{\sqrt{\frac{V}{\nu}}}\right)
\end{align*}
donde $\theta \sim N(0,1)$, $V \sim \chi^2_{\nu}$, y $\nu = n_T+n_C-2$. Por lo tanto, $d$ $\sqrt{\frac{n_T + n_C}{n_T n_C}}$ veces una variable que sigue una no-central de la distribución t con $n_T + n_C - 2$ grados de libertad y parámetro no-centralidad de $\delta\sqrt{\frac{n_T n_C}{n_T + n_C}}$.
Utilizando el momento de las propiedades de la no-central $t$ distribución, se sigue que:
\begin{equation*}
\mathrm{Var}(d) = \frac{(n_T + n_C - 2)}{(n_T + n_C - 4)}\frac{(n_T + n_C)}{n_T n_C}(1+ \delta^2\frac{n_T n_C}{n_T + n_C}) - \frac{\delta^2}{b^2} \tag{3}
\end{ecuación*}
donde
\begin{equation*}
b = \frac{\Gamma\left(\frac{n_T + n_C - 2}{2}\right)}{\sqrt{\frac{n_T+n_C-2}{2}}\Gamma\left(\frac{n_T+n_C-3}{2}\right)} \approx 1 - \frac{3}{4(n_T+n_C+2)-1}
\end{ecuación*}
De modo que la Ecuación (3) proporciona la exacta gran varianza de la muestra. Tenga en cuenta que un estimador imparcial para$\delta$$b d$, con variación:
\begin{equation*}
\mathrm{Var}(bd) = b^2\frac{(n_T + n_C - 2)}{(n_T + n_C - 4)}\frac{(n_T + n_C)}{n_T n_C}(1+ \delta^2\frac{n_T n_C}{n_T + n_C}) - \delta^2
\end{ecuación*}
Para grandes grados de libertad (es decir, un gran $n_T+n_C-2$), la varianza de un no-central $t$ varia con $\nu$ grados de libertad y parámetro no-centralidad $p$ puede ser aproximada por $1 + \frac{p^2}{2\nu}$ (Johnson, Kotz, Balakrishnan, 1995). Por lo tanto, tenemos:
\begin{align*}
\mathrm{Var}(d) &\approx \frac{n_T + n_C}{n_T n_C}\left(1 + \frac{\delta^2\left(\frac{n_T n_C}{n_T + n_C}\right)}{2(n_T+n_C-2)}\right)
\\\\
&= \frac{n_T + n_C}{n_T n_C} + \frac{\delta^2}{2(n_T+n_C-2)}
\end{align*}
Enchufe en nuestro estimador para $\delta$ y hemos terminado.
