Para demostrar que una función es constante

Question

Sea $f$ definida en $\mathbb{R}$ y supongamos que |$f(x)$ - $f(y)$| $\leq$ $(x-y)^2$ $x,y \in\mathbb{R}$. Aquí tengo que demostrar que $f$ es una función constante.

Pienso que tengo que demostrar que $f'(x)$ = 0 para todo $x$. Pero no sé por dónde empezar. Intenté considerarlo como (|$f(x)$ - $f(y)$|/|$x$-$y$|) $\leq$ |$x$ - $y$|. ¿Estoy en lo correcto al hacerlo así? Cualquier sugerencia o pista será útil. Gracias

Answer 1

Estás en el camino correcto. Usa la definición de la derivada: $f'(y)=\lim _{x\to y}\frac{f(x)-f(y)}{x-y}$. Quieres demostrar que este límite es $0$. Ahora, observa lo que puedes estimar: $|f(x)-f(y)|$. Bueno, no está muy lejos del numerador en la definición de la derivada. Ahora, un límite de una expresión es $0$ si y solo si el límite del valor absoluto de la expresión es $0$. Así que observa el límite cuando $x\to y$ de $\frac{|f(x)-f(y)|}{|x-y|}$. Completa algo en $0\le \frac{|f(x)-f(y)|}{|x-y|}\le ...$ basado en lo que se da. Luego concluye el resultado deseado.

Answer 2

Para cualquier $\epsilon>0$, deja que $y=x+\epsilon$ en tu demostración, y deja que $\epsilon\rightarrow 0$, hemos terminado.

Answer 3

Considera la definición de la derivada de $f$, $$f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h}$$

Entonces, $$\begin{align} |f'(x)| &= \lim_{h \to 0} \left |\frac{f(x+h)-f(x)}{h}\right| \\ &\leq \lim_{h \to 0} \left |(x+h)-x\right| \\ &=0 \end{align}\\ \therefore f'(x)=0 \text{ }\forall x$$

De la primera paso al segundo paso, llegué al tomar $x:=x+h$ y $y:=h$ en la desigualdad dada. Dado que $f'=0$ de manera idéntica, $f$ es constante.

Answer 4

Ya es suficiente demostrar que $f'(x)$ = 0 $\forall x \in \mathbb{R}$. Puedes usar el enfoque $\epsilon - \delta$ para demostrar esta afirmación.

Sea $\epsilon > 0$ dado, entonces necesitas mostrar que $\exists$ $\delta > 0$ tal que

$|\frac{f(x+h) -f(x)}{h} - 0| = |\frac{f(x+h) -f(x)}{h} | < \epsilon$ cuando $|h|<\delta$ pero, por la definición de la función dada arriba tenemos que

$|\frac{f(x+h) -f(x)}{h}| \leq \frac{h^2}{|h|} = |h|$ . Así que elige $\delta = \epsilon$, y si

$|h|< \delta$ tenemos $|\frac{f(x+h) -f(x)}{h} - 0| < \epsilon$. Dado que $\epsilon > 0$ es arbitrario, tenemos que $f'(x) = 0$

Answer 5

Para cualquier $x, y \in \mathbb{R}$, subdividimos el segmento de línea entre $x$ y $y$ en $N$ piezas, tenemos:

$$\begin{align} | f(y) - f(x) | = &\left|\sum_{i=1}^N \left( f(x + \frac{i}{N}(y-x)) - f(x+\frac{i-1}{N}(y-x)) \right) \right|\\ \le & \sum_{i=1}^N \left| f(x + \frac{i}{N}(y-x)) - f(x+\frac{i-1}{N}(y-x)) \right|\\ \le & \sum_{i=1}^N \left|\frac{y-x}{N}\right|^2 = \frac{|y-x|^2}{N} \end{align}$$ Dado que $N$ puede ser tomado como arbitrariamente grande, tenemos: $$|f(y) - f(x)| \le \liminf_{N\to\infty} \frac{|y-x|^2}{N} = 0\quad\implies\quad f(y) = f(x)$$

Tenga en cuenta que este argumento no solo funciona para $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, sino para cualquier mapa entre espacios vectoriales normados siempre que $|\cdot|$ se interprete correctamente.