¿Quién dio nombre a "Grupos de cociente"?

Question

Quién decidió llamar a los grupos cociente cociente grupos, y por qué ¿escogieron ese nombre? Muchas identidades como $$\frac{G/A}{B/A}\cong \frac{G}{B}$$ sugieren que quien inventó la notación entendía estas cosas mucho mejor que yo...

Editar : También me interesa la notación; suponía que la notación y la terminología iban juntas, pero quizá no sea así.

Answer 1

Lea el artículo de Julia Nicholson "The development and understanding of the concept of quotient group", Historia Mathematica 20 (1993), 68--88. (Si dispone de los permisos adecuados, puede leerlo en línea en http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0315086083710074 .) Resumiré la historia básica.

En idea de un grupo cociente surgió en trabajos de Galois, Betti, Jordan, Dedekind, Frobenius, von Dyck y Hölder. Jordan se acercó al concepto, pero le faltaba la idea abstracta de pensarlo como un conjunto cuyos elementos son cosets y no utilizó el nombre por el que preguntas. Finalmente fue definido y nombrado por Hölder, que escribió $G|H$ en lugar de $G/H$ y lo llamó cociente de $G$ y $H$ . Así que la respuesta a la pregunta del título es "Hölder".

Jordan, en la década de 1870, casi tuvo la idea completa; introdujo la relación de congruencia $g_1 \equiv g_2 \bmod H$ cuando $H$ es un subgrupo normal de $G$ y demostró la multiplicación en clases de congruencia mod $H$ está bien definida, pero a la hora de hacer un nuevo grupo a partir de esta relación de congruencia Jordan definió la operación de grupo sobre un conjunto fijo de representantes mod $H$ . Para mí esto suena muy similar a la forma de adición mod $m$ puede describirse de forma elemental como "aritmética del reloj", utilizando una suma envolvente directamente sobre el conjunto de números $0, 1, \dots, m$ en lugar de en el conjunto de cosets mod $m$ . Jordan escribió el grupo resultante como $\frac{G}{H}$ y lo llamó le groupe suivant le module $H$ .

Hölder, casi veinte (¡!) años más tarde, en 1889, dio el paso final de considerar este nuevo grupo como un conjunto cuyos elementos son clases de equivalencia (el $H$ -cosets) en $G$ . Jordan no podía dar ese paso porque para él los elementos de un grupo eran siempre permutaciones. No tenía el lenguaje para hablar de un grupo cuyos elementos son cosets (de permutaciones). He aquí el extracto del artículo de Hölder en el que utiliza el término "cociente": Man erhält so neue Operationen, welche gleichfalls eine Gruppe bilden. Se trata de un grupo totalmente distinto, que debe ser definido en el análisis. El usuario puede ver los Cocientes de los Grupos $G$ y $H$ nennen, dieselbe soll im Folgenden mit $G|H$ bezeichnet werden. Hay un enlace al artículo en la respuesta de Bill y Hagen von Eitzen ofrece una traducción de este extracto al inglés en un comentario a esa respuesta.

Este artículo de Hölder es donde el teorema de Jordan-Hölder asumió su forma moderna, como un teorema que compara el grupos cociente en dos series de composición de un grupo finito. La versión anterior del teorema de Jordan sólo comparaba los cocientes de las pedidos de subgrupos sucesivos en dos series de composición cualesquiera. Aunque Nicholson no dice directamente por qué se eligió el nombre de "grupo cociente", me parece que fue porque los cocientes de órdenes de subgrupos eran, en el teorema de Jordan-Hölder en evolución, el precursor de los grupos cocientes. También explicaría por qué Jordan escribió estos grupos utilizando la notación de fracciones.

Los matemáticos que escribieron en los años posteriores al artículo de Hölder utilizaron la palabra que él había introducido. En un artículo de 1893, Cayley escribió $G/H$ y lo llamó cociente. Burnside utilizó el término grupo cociente en su libro Theory of Groups of Finite Order (1897), que fue el primer libro de texto sistemático en inglés sobre teoría de grupos.

En algunos otros idiomas (por ejemplo, el ruso y el alemán) utilizan el término "grupo factorial", aunque este término fue introducido por Hölder para significar algo más preciso: utilizó Factorgruppe (véase la p. 33 de su trabajo) para referirse a los grupos cocientes simples que surgen de una serie de composición. ¿Por qué llamarlos grupos factoriales? Probablemente porque estos grupos cocientes simples "descomponen" el grupo original, de ahí que sean como factores primos. Posteriormente Burnside, en su libro, trató los términos "grupo cociente" y "grupo factorial" como sinónimos de lo que nosotros llamamos grupos cocientes. Tal vez por eso los términos grupo factorial y grupo cociente acabaron usándose con el mismo significado.

También puede leer la sección 1.1 del libro de Leo Corry Modern Algebra and the Rise of Mathematical Structures, que trata de forma más general la génesis de la teoría de grupos.

Answer 2

Según Young, Amer. Jnl. Math, 1893, p.130 la terminología fue introducida por Hölder cuando demostró la unicidad de los grupos factoriales en series de composición (teorema de Jordan-Hölder) en su artículo de 1889 en Mathematische Annalen titulado Reducción de cualquier ecuación algebraica a una cadena de ecuaciones. A menudo se cita como la primera formulación clara del concepto de grupo cociente. Quizá alguien que lea alemán pueda decirnos cuál era el término alemán y, además, decirnos si Hölder da alguna razón para la elección de la terminología.

Actualización: hojeando el artículo de Hölder se confirma la afirmación de Young: Holder utiliza la terminología " Cocientes der Gruppen", véase el siguiente extracto de la p.31

Julia Nicholson escribió en 1993 Historia Math. documento sobre la historia de los grupos cociente

En 1893 Cayley escribió una "Nota sobre el llamado quot grupos", en la que citaba el artículo de Hölder de 1889 y hacía referencia a un artículo de Young [1893], quien, a su vez, atribuyó la definición de grupo cociente yööö

Answer 3

Si el grupo $G$ tiene $24$ miembros y un subgrupo normal $H$ tiene $6$ miembros, entonces $G/H$ tiene $24/6$ miembros y $24/6$ es claramente un cociente. La división es una operación sobre números definida inicialmente pensando en conjuntos finitos: dividir un conjunto de $24$ miembros en partes de tamaño $6$ Entonces, ¿cuántas piezas de este tipo hay? Está claro que es un cociente, en el sentido de un número que resulta de la división, y está claro que así es como se forman los grupos cocientes: un grupo cociente es un grupo de cosets.

(Esto es "división de citas" frente a "división de particiones" .)