He decidido publicar Arnold W. Miller prueba por separado en CW respuesta. La prueba viene de su libro Descriptivo de la Teoría de conjuntos y Obligando a: Cómo Probar Teoremas acerca de los Conjuntos de Borel de la Manera Difícil. Esto está disponible gratuitamente aquí. (El mismo texto también fue publicado por Springer como parte Notas de la Conferencia en la Lógica, aquí es projecteuclid enlace.)
Tengo dos razones para hacer esto. Uno es que no me gusta de la prueba y de esta manera, la prueba tendrá más visibilidad que si está solamente ligada a partir de los comentarios y otra respuesta. Y también de esta manera, algunas anotaciones, que puede no ser familiar para todos los usuarios la lectura de esta pregunta, se podría explicar aquí.
Lo que sigue es la copia exacta del texto de Miller notas. He utilizado el TeX-fuente de la que publicó en su sitio web. Los únicos cambios que he hecho se que me han sustituido a las macros y la he modificado para el uso de MarkDown.
Teorema. (Baire) $\omega^\omega$ es homeomórficos a la irrationals $\mathbb P$.
Prueba. Primero reemplace $\omega$ por los enteros $\mathbb Z$. Vamos a construir un mapeo de$\mathbb Z^\omega$$\mathbb P$.
Enumerar los racionales $\mathbb Q=\{q_n: n\in\omega\}$.
Inductivamente construir una secuencia de intervalos abiertos $\langle I_s : s\in \mathbb Z^{<\omega}\rangle$ la satisfacción de las siguientes:
- $I_{\langle\rangle}=\mathbb R$, y para $s\not= \langle\rangle$ $I_s$ es un trivial intervalo abierto en $\mathbb R$ con racional de los extremos,
- para cada $s\in \mathbb Z^{<\omega}$$n\in \mathbb Z\;\;\; I_{s\widehat{\ } n}\subseteq I_s$,
- el extremo de la derecha del punto de $I_{s\widehat{\ } n}$ es el extremo izquierdo punto de $I_{s\widehat{\ } n+1}$,
- $\{I_{s\widehat{\ } n}: n\in \mathbb Z\}$ cubre todos los de $I_s$, excepto para las estaciones,
- la longitud de $I_s$ es de menos de $1\over |s|$$s\not= \langle\rangle$, y
- el $n^{th}$ racional $q_n$ es un extremo de $I_t$ algunos $|t|\leq n+1$.
Definir la función de $f:\mathbb Z^{\omega}\rightarrow\mathbb P$ como sigue.
Dado $x\in\mathbb Z^{\omega}$ el conjunto
$$\bigcap_{n\in\omega}I_{x\upharpoonright n}$$
debe consistir de un singleton irracional. Es no vacío porque
$$\operatorname{closure}(I_{x\upharpoonright n+1})\subseteq I_{x\upharpoonright n}.$$
Es un singleton, porque sus diámetros de que la reducción a cero.
Por lo que podemos definir $f$ por
$$\{f(x)\}=\bigcap_{n\in\omega}I_{x\upharpoonright n}.$$
La función de $f$ es uno-a-uno, porque si $s$ $t$ son incomparables
a continuación, $I_s$ $I_t$ son disjuntas. Es sobre ya que para cada
$u\in\mathbb P$ $n\in\omega$ hay un único, $s$ de
la longitud de la $n$$u\in I_s$. Es un homeomorphism porque
$$f([s])=I_s\cap\mathbb P$$
y los conjuntos de la forma $I_s\cap\mathbb P$ formulario de una base
para $\mathbb P$.
$\hspace{5cm}\square$
Tenga en cuenta que el mapa dado también un fin de isomorfismo de
$\mathbb Z^\omega$ con el orden lexicográfico a $\mathbb P$
con su orden usual.
La notación
En caso de que alguien no está familiarizado con algunos de la notación anterior.
$\omega=\{0,1,2,\dots\}$ denota el conjunto de todos los enteros no negativos
La notación $A^{<\omega}$ es utilizado para el conjunto de todas las secuencias finitas de elementos de $A$. En esta prueba trabajamos con secuencias finitas de números enteros, es decir, con el conjunto de $\mathbb Z^{<\omega}$.
El símbolo $s\widehat{\ }a$ representa la concatenación. I. e., si $s=\langle s_0,s_1,\dots,s_k\rangle$ es una cierta secuencia finita y $a\in\mathbb Z$, $s\widehat{\ }a=\langle s_0,s_1,\dots,s_k,a \rangle$ es finito, las secuencias en las $a$ es añadido al final.
El símbolo $|s|$ denota la longitud de la secuencia finita $s$.
Si $x=\langle x_0,x_1,\dots,x_n,\dots\in\mathbb Z^\omega$ es una secuencia, a continuación, $x\upharpoonright n=\langle x_0,x_1,\dots,x_{n-1}\rangle$ es la secuencia finita que consta de la primera $n$ elementos.
Si $s\in\mathbb Z^{\omega}$, $[s]$ denota el conjunto de todas las secuencias infinitas que comienzan con $s$. I. e., si $s=\langle s_0, \dots, s_n\rangle$
$$[s]=\{x\in\mathbb Z^\omega; x_0=s_0, x_1=s_1,\dots,x_n=s_n\}.$$
Por ejemplo, para la secuencia vacía $\langle\rangle$ obtenemos el conjunto de la $\mathbb Z^\omega$ de esta manera.
El sistema de $\{[s]; s\in\mathbb Z^\omega\}$ es una base de la topología producto en $\mathbb Z^\omega$ (es decir, del espacio de Baire).
Comentarios
Entiendo que la frase "$\{I_{s\widehat{\ } n}: n\in \mathbb Z\}$ cubre todos los de $I_s$, excepto para las estaciones" en la forma en que se supone que es para decir que $\bigcup\limits_{n\in\mathbb Z} I_{s\widehat{\ } n}$ contiene todos los números irracionales de $I_s$. (Claramente, no puede contener los extremos de los intervalos de $I_{s\widehat{\ } n}$, que pertenecen al intervalo de $I_s$.) Esta propiedad es precisamente la razón por la que cada número irracional debe pertenecer a uno de los intervalos en cada paso. (Por lo que esto implica que el mapa definido anteriormente, es surjective.)
La condición de que $q_n$ es un extremo de un intervalo en algún momento se hace para asegurarse de que ningún número racional le pertenecen a la intersección $\bigcap_{n\in\omega}I_{x\upharpoonright n}$. (Por lo tanto, los valores de $f(x)$ de la función de $f$ pertenecen de hecho a $\mathbb P$.)
Las personas que ya están familiarizados con el descriptivo de la teoría de conjuntos, sin duda, han notado que el sistema construido en esta prueba es un esquema de Souslin.
