Grupo de Picard y cohomología

Question

Es un ejercicio fácil pero aburrido (Hartshorne Ex. III.4.5 o Liu 5.2.7) que el grupo $Pic(X)$ de clases de isomorfismo de gavillas invertibles en un espacio topológico anillado (bueno, tal vez podamos restringirlo a esquemas) es isomorfo a $H^{1}(X, \mathcal{O}_X^{*})$ , donde $\mathcal{O}_X^{*}$ denota la gavilla cuyas secciones sobre un conjunto abierto $U$ son las unidades del anillo $\mathcal{O}_X(U)$ .

La prueba que conozco (que utiliza la pista dada por Hartshorne) utiliza fuertemente la cohomología de Cech: básicamente la idea es que dada una gavilla invertible $\mathcal{L}$ y una cobertura abierta afín $\mathcal{U}=(U_i)$ en el que $\mathcal{L}$ es libre, podemos construir un elemento en $\check{C}^1(\mathcal{U},\mathcal{O}_X^{*})$ utilizando la restricción del isomorfismo local a las intersecciones $U_i\cap U_j$ . La condición de cocos en la triple intersección implica que tenemos un elemento bien definido en $\check{H}^{1}(X, \mathcal{O}_X^{*})$ . Entonces se demuestra que el mapa es un isomorfismo de grupos.

Mi pregunta es la siguiente: este enfoque no es muy esclarecedor. ¿Existe una prueba más intrínseca del isomorfismo entre $Pic(X)$ y $H^{1}(X, \mathcal{O}_X^{*})$ ¿Sin la cohomología de Cech?

Answer 1

Supongamos, para simplificar, que $X$ es integral. Consideremos la secuencia exacta de grupos $$ 1\to O_X^* \to K_X^* \to K_X^*/O_X^* \to 1$$ donde $K_X$ es la gavilla constante de funciones racionales sobre $X$ . Tomando la cohomología se obtiene $$ K(X)^* \to H^0(X, K_X^*/O_X^*) \to H^1(X, O_X^*) \to H^1(X, K_X^*).$$ Ahora el último término desaparece porque $K_X^*$ es una gavilla flasqueada, y el cokernel de la flecha izquierda es por definición el grupo de divisores de Cartier sobre $X$ hasta la equivalencia lineal. Como $X$ es integral, se sabe que este cokernel es isomorfo a $\mathrm{Pic}(X)$ .