Diagrama de Dynkin automorfismos y pesos

Question

Deje $\sigma$ ser un trivial diagrama de Dynkin automorphism de un número finito de dimensiones complejas simple Mentira álgebra $\frak g$ (de tipo a, D o E) y deje $\frak h$ ser un Cartan subalgebra de $\frak g$. Deje $I$ ser un índice establecido por el simple raíces de $\frak g$ $R$ el conjunto de raíces de $\frak g$. Considerar la automorphism de $\frak g$ inducida por $\sigma$ $\sigma(x_i^\pm)=x_{\sigma(i)}^\pm$ todos los $i\in I$. Es bien sabido que la orden de $\sigma$ es de 2 o 3 y se denota por a $m$. Revisión de una primitiva $m^{th}$ raíz de la unidad $\xi$.

Considere la posibilidad de ${\frak g}_j = \{ x\in {\frak g} \mid \sigma(x)=\xi^j x\}$. Esto significa que $\frak g_0$ es el conjunto de puntos fijos de este automorphism. También es bien sabido que cada una de las $\frak g_j$ $\frak g_0$- módulo y se denota su conjunto de pesas como un $\frak g_0$-módulo de $wt(\frak g_j)$. Fix $\frak h_0 = \frak g_0 \cap \frak h$.

Cómo probar lo siguiente:

1) Si $\mu \in wt(\frak g_j)$ es distinto de cero, entonces a $\mu = \alpha|_{\frak h_0}$ algunos $\alpha \in R$.

2) Deje $\alpha,\beta\in R$. A continuación, $\alpha|_{\frak h_0} = \beta|_{\frak h_0}$ si y sólo si $\alpha=\sigma^j(\beta)$ algunos $j$.

Lo que podría ser una buena referencia para este tipo de pregunta?

Answer 1

La mayoría de los detalles de la instalación se describen en el Capítulo 8 de Kac del libro de Infinitas dimensiones álgebras de Lie. La motivación no es que esto es importante en el estudio de trenzado de bucle (y afines) álgebras de Lie.