Ecuación diferencial de Riccati

Question

Tengo que resolver la siguiente ecuación : $$\frac{dx}{dt}(t)=-q x^2(t) +1$$ con $x(0)=1$$q>0$. En primer lugar considero que los dos casos:

1. $q=1$, luego tomar el cambio de variable $x= \frac{u^{\prime}}{u}$, con pequeños cálculos tuve la segunda ord er lineal homogéneo de ecuaciones diferenciales $u^{\prime\prime} -u =0$, una solución de esta ecuación es $u=c_1+c_2e^t$ y de nuevo a nuestro x obtenemos $x=\frac{c_2e^t}{c_1+c_2e^t}$ y con la condición inicial $x(0)=1$ obtenemos $x=1$

2. si $q$ no $1$, directamente supongo que $-q x^2(t) +1$ es distinto de cero y se resuelve la ecuación por la simple integración de $$\int \frac{dx}{1-qx^2}= \int 1 dt$$ entonces llegué a la siguiente solución $$x(t)= \frac{1}{\sqrt{q} \tanh(t\sqrt{q} +c)}$$ where c is the constant determined from the initial condition $c=\operatorname{atanh}(\sqrt{q})$

Son estos debates y solución de los pasos correctos? Puedo asumir que en el segundo caso que $-q x^2(t) +1$ no es cero directamente? y en el primer caso, teniendo en cuenta el cambio de variable $x= \frac{u^{\prime}}{u}$ sin supuestos en $u$ es la correcta?

Gracias por todas las ideas.

Answer 1

Muy bien hecho. Me gustaría sugerir una alternativa de análisis que puede ser útil también. Voy a hacerlo en varios pasos.

Paso 1: Eliminar la constante obligando a término.

Conjunto de la izquierda a cero y resolver para $x$. Esto le da a $x=\sqrt(1/q)$

Paso 2: cambiar el origen de $x$. Definir

$$z = x - \frac{1}{\sqrt{q}} \Rightarrow x = z + \frac{1}{\sqrt{q}} \tag 1$$

Paso 3: volver a escribir la ecuación diferencial en términos de la nueva variable.

A partir de (1) $$\frac{dz}{dt} = \frac{dx}{dt} = -q x^2 + 1 = -q \left(z^2 + 2 z \frac{1}{\sqrt{q}} + =\frac{1}{q} \right) =-q z^2 -\frac{2}{\sqrt{q}} z$$

Paso 4: Hacer lineal tomando recíprocos

Deje $y=1/z$. Entonces $$ \frac{dy}{dt} = -\frac{1}{z^2} \frac{dz}{dt} = p +\frac{2}{\sqrt{q}} $y$

Volviendo al problema original

Usted puede seguir los pasos. Cuando $q=1$, $z(0) = 0$ y de (3) $z(t) \equiv 0$. El paso 4 no es válido.

Si $q \ne 1$, a continuación, en el paso 4 es válida. $z(t)$ golpes al $y(t)=0$, es decir, $y$ tiene un cruce por cero.

Answer 2

SUGERENCIA:

1. Encontrar/Supongo que una solución particular $x_p(t)$ de su DE [fácil!]

2. El uso de la conjetura $x(t)=x_p(t)+\frac{1}{u(t)}$

Answer 3

La unicidad de la solución es la clave aquí.

Primera nota de que $f$ es localmente Lipschitz, por lo que las soluciones son continuos y único (que no existe por todo el tiempo). A continuación, tenga en cuenta que $f(x) = 0$ fib $x = \pm \sqrt{q}$.

Por lo tanto, si una solución comienza a $x_0 = \pm \sqrt{q}$, $x(t) = x_0$ todos los $t$.

De lo contrario, si $f(x_0) >0$, $f(x(t)) >0$ todos los $t$ en el dominio de $x$, y del mismo modo, si $f(x_0) <0$, $f(x(t)) <0$ todos los $t$ en el dominio de $x$. En particular, si $f(x_0) \neq 0$, $f(x(t)) \neq 0$ todos los $t$ en el dominio de $x$.