Hay un número infinito de operaciones binarias para cualquier conjunto?

Question

He comenzado a echar un vistazo a Un Primer Curso de Álgebra Abstracta por Fraleigh.

La siguiente definición (ed. 6, p 32).

Definición: Una operación binaria, $*$ sobre un conjunto $S$ es una función de mapeo $S \times S$ a $S$. Para cada una de las $(a,b) \in S \times S$, vamos a denotar el elemento $*((a,b))$$S$$a*b$.

Después de experimentar con la definición, empecé a preguntarme si, independientemente de lo $S$ es, ¿siempre habrá una posible operación binaria. Pensé, sí.

Conjetura: Vamos a $S$ ser un conjunto. Independientemente de lo $S$ contiene, siempre existe al menos una operación binaria en $S$.

Prueba:

Deje $S = \emptyset $. A continuación, la declaración de que existe una función de mapeo $S \times S$ a $S$ es vacuously cierto, ya que no existen elementos de mapa. Por lo tanto la proposición es verdadera para el conjunto vacío caso.

Supongamos $S$ no está vacío. Deje $a$ $b$ dos arbitraria de elementos de $S$, y en el caso de que $S$ tiene sólo un elemento $a= b$. Definitivo $*$ siempre devuelve el primer elemento del par ordenado, de tal manera que $a*b=a$. Este sería el mapa $S \times S$ a $S$, independientemente de lo que el conjunto de $S$ puede ser.

Por lo tanto, cada posible conjunto tiene una posible las operaciones binarias.

Esto parece demostrar que siempre hay una operación binaria de un set, pero luego me llevan a preguntarme si también hay un número infinito de operaciones binarias para cualquier conjunto dado $S$.

Conjetura: Vamos a $S$ ser un conjunto. Independientemente de lo $S$ contiene, hay un número infinito de posibles operaciones binarias en $S$.

Después de pensar en las posibles relaciones binarias, creo que he venido para arriba con una prueba que muestre que la declaración es verdadera.

Prueba: Si $S$ está vacía, entonces cualquier declarado operación binaria sería vacuously verdadero.

Si $S$ no está vacío, y $S$ es un conjunto infinito. Definir una operación binaria en $S$ como: vamos a $a$ $b$ dos arbitraria de elementos de $S$. A continuación, $a *_n b$ siempre devuelve la $n^{th}$ elemento en el conjunto $S$. Cualquier número infinito de $n$ puede ser elegido, por lo tanto, hay un número infinito de relaciones binarias en $S$ al $S$ es infinito.

Si $S$ es no vacío y finito, definir un nuevo conjunto $S'$. $S'$ contiene los mismos elementos como $S$ en el mismo orden, y donde $S$ termina, $S'$ continúa con el último elemento de $S$ repite otra vez. Por lo tanto definir la operación binaria como en el caso infinito, pero en $S'$, obtenemos el mismo resultado ya que cada elemento de la $S'$$S$.

Ejemplo: Vamos A $S = \{ a , b , c \}$. A continuación, $S' = \{ a , b , c , c , c , ... \}$

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Lo que me pregunto es:

Son mis pruebas de mis conjeturas correctas?

Hay una forma más elegante de la dirección de la pregunta?

Answer 1

Una operación binaria es una función de $f : S\times S\to S$. Sin embargo, si $0 < \left|S\right| = n < \infty$, podemos contar el número de funciones: $$ \#\{f: S\times S\S\} = \left|S\right|^{\left|S\times S\right|} = n^{n^2}< \infty. $$ Si $S$ es infinito, entonces es claro que hay un número infinito de tales funciones. Así que su segunda conjetura vale si $S$ es infinito, pero no si $S$ es finito (si $S = \emptyset$, no hay una única función de $f : \emptyset\times\emptyset\to\emptyset$). Su primera conjetura es verdadera: si $S\neq\emptyset$, para luego decir $a\in S$. Definir $f : S\times S\to S$ a ser la constante de la función de envío de cualquier elemento de $S\times S$$a$. Esta es una operación binaria para cualquier conjunto no vacío, y ya hemos visto una operación binaria para $\emptyset$ (su argumento para no vacío $S$ también funciona).

Answer 2

Para abordar la propuesta directamente, considere la posibilidad de $S' = \{a, b, c, c, c, \ldots\}$. La notación es un poco ambiguo, pero se sugiere que las operaciones de las $*_3$ $*_4$ $S'$ son definidos por $x*_3 y = c$ $x*_4 y=c$ todos los $x,y$. Así que tenemos la identidad de $x*_3 y = x*_4 y$. Para cualquier definición razonable de la igualdad de las operaciones, esto significa que $*_3=*_4$, o en inglés: son la misma operación. En la teoría de conjuntos, las operaciones se definen de tal manera que este es realmente el caso.

Como fkraiem notas, los conjuntos no tienen elementos repetidos, por lo $S' = \{a, b, c, c, c, \ldots\} = \{a,b,c\}$. Asimismo, el conjunto de operaciones que hemos definido es $$\{*_1,*_2,*_3,*_4,*_5,\ldots\}=\{*_1,*_2,*_3,*_3,*_3,\ldots\}=\{*_1,*_2,*_3\},$$ que es un conjunto finito.