Podemos encontrar una secuencia $\{a_n\}$ tal que $\lim_{n\to\infty}a_n=\infty$, pero $$\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n a_i=a<\infty?$$ ¿La secuencia de $\{\ln(\ln(n))\}$ satisfacer esta condición? Si sí, ¿cómo podemos mostrar que? Gracias!
Respuestas
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No es posible encontrar este tipo de secuencia. Lo voy a hacer por funciones, esto le dará una forma alternativa.
Asumir una localmente integrable función de $f$ $[0,+\infty)$ tiende a $+\infty$$+\infty$. Vamos a mostrar que la antiderivada $F(x)=\int_0^xf(t)dt$ satisface $$ \lim_{x\rightarrow+\infty}\frac{F(x)}{x}=+\infty. $$
Fix $C>0$. Entonces no es $x_0>0$ tal que $f(x)\geq 2C$ todos los $x\geq x_0$. Así $$ F(x)=\int_0^{x_0}f+\int_{x_0}^xf\geq 2C(x-x_0)+\int_0^{x_0}f=2Cx+D $$ por lo tanto $$ \frac{F(x)}{x}\geq 2C+\frac{D}{x}\qquad\forall x\geq x_0. $$ Ahora hay $x_1>x_0$ tal que $D/x\geq -C$ todos los $x\geq x_1$. Por lo tanto $$ \frac{F(x)}{x}\geq 2C+\frac{D}{x}\geq 2C-C=C\qquad\forall x\geq x_1. $$ Así que tenemos muestran que $F(x)/x$ tiende a $+\infty$ como se reivindica.
Ahora aplicar esta serie que cumplan con tus suposiciones. Una manera de hacerlo es construir una función constante a trozos $f$ que toma el valor de$a_n$$[n,n+1)$. A continuación, $f(x)$ se comporta como $a_n$, e $F(x)$, al igual que las sumas parciales.
rrirower
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Secuencia $(\ln \ln n)$ no cumple con su condición. Sin secuencia puede satisfacer su condición si $\lim a_n = +\infty$.
Supongamos que la secuencia de $(a_n)$ satisface su condición y converge a positivo infinito. Deje $b_n = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n a_i$. Vamos a demostrar que $(b_n)$ es ilimitado.
Deje $A$ ser un número positivo arbitrario. Hay un $n_0 \in \mathbb{N}$ tal que para cualquier $n \geq n_0$ tenemos $a_n > A$. Entonces, para cualquier $n \geq n_0$, $$ b_n = \frac{1}{n}\left(\sum_{i=1}^{n_0}a_i + \sum_{i=n_0+1}^n a_i\right) \geq \frac{A(n-n_0)+const}{n} $$ Como $n $$\infty$, la RHS converge a $A$, lo que significa que para que una lo suficientemente grande $n$ tenemos $b_n > A - 1$. Desde $A$ es arbitrario, secuencia $(b_n)$ es ilimitado y no tiene un límite finito.
Aún así, si $a_n \to \infty$ significa sin signo de infinito, entonces uno puede construir un ejemplo. Por ejemplo: $$ a_n = (-1)^n \ln \left[\frac{n+1}{2}\right]. $$
psychotik
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De hecho, tenemos la siguiente Abelian teorema:
Teorema. Si $a_n \to \alpha$ algunos $\alpha \in [-\infty. \infty]$, en promedio, y también tiende a ser el límite de $\alpha$. Es decir,
$$\lim_{n\to\infty} a_n = \alpha\in [-\infty. \infty] \quad\Longrightarrow\quad \lim_{n\to\infty}\frac{1}{n} \sum_{k=1}^{n} a_k = \alpha. $$
La prueba para el caso de $\alpha = \pm\infty$ no difieren tanto de que para el caso finito.
