Muestran que este polinomio es positivo

Question

Considere el siguiente polinomio en dos variables :

$$ Q(k,x)=27x^6 - 144kx^4 + 80k^2x^3 + 240k^2x^2 - 192k^3x + (64 k^4 - 128 k^3) $$

Entonces para cualquier entero $k \geq 5$, el polinomio $Q(k,.)$ (en una variable $x$) parece ser siempre positivo (i.e, $Q(k,x) >0$ para cualquier número real $x$). Probar o refutar.

Answer 1

1. $x\mapsto Q(5, x)$ es positivo. Hay numerosas maneras de demostrar que, más o menos de forma algorítmica.

2. Suponga que existe un $k$ tal que $x\mapsto Q(k,x)$ no es positivo, y considerar la posibilidad de $L$ ser el infimum de todos los números reales $k \geqslant 5$ tal que $x\mapsto Q(k, x)$ no es positiva. Yo reclamo que $Q(L,x)$ tiene una doble raíz real, esto es equivalente a decir que el $L$ es una raíz de la discriminante de $Q$ w.r.t. la variable $x$.

3. El discriminante de $Q$ con respecto al $x$ (calculada con Maple) : $$ \operatorname{disc}_x Q = 92162779488452608 k^{16} (k-4)^4 $$

4. Las verdaderas raíces de este discriminante son 0 y 4, por lo tanto $L$ no puede ser finito, y por lo tanto el reclamo.

Pruebas

• El punto 1 se puede probar usando Sturm secuencias, y se puede calcular estas secuencias utilizando Maple :

  sturm(subs(k=5, P),x,-infinito, infinito);
  0
  

Esto significa que $Q(5, x)$ no tiene raíces reales. Desde que el líder del coeficiente es positivo, el polinomio $Q(5, x)$ es positivo siempre que $x\in \mathbb R$.

• Para probar el punto 2 considere el $x_0$ números reales tales que a $Q(L, x)$ es mínima. Tenemos $Q(L, x_0) = 0$, porque si $Q(L, x_0) > 0$ $x\mapsto Q(L+\epsilon, x)$ es positivo para $\epsilon > 0$ bastante pequeño, lo que contradice la definición de $L$. Si $Q(L, x_0) < 0$, $Q(L-\epsilon, x_0)$ es stille negativo para $\epsilon > 0$ lo suficientemente pequeño, que es de nuevo una contradicción. Por lo $x_0$ es una raíz de $Q(L,x)$ e de $\partial_x Q(L,x)$, por lo tanto se trata de una doble raíz. El discriminante cosa es habitual.

• El punto 3 es de Arce :

  factor(discrim(Q, x));

Answer 2

También puede utilizar eliminación de cuantificadores algoritmos. Esto le da precisamente para que $k$ el polinomio $Q(k,x)$ es positivo. Por ejemplo Mathematica implementa un algoritmo :

In[1] := Resolve[ForAll[{x}, Q > 0]]
Out[1] := k < 0 || k > 4

Insisto en que usted puede confiar en este resultado, se trata de un algoritmo exacto no numéricos heurística.

Answer 3

Usted puede tratar de probar su hipótesis el uso de la inducción :

$1.$ Demostrar que :

$Q(5,x)=27\cdot x^6-720 \cdot x^4+2000 \cdot x^3+6000\cdot x^2-24000\cdot x+24000 > 0$ ,para todos los $x$

$2.$ Supongo que :

$Q(k,x)=27x^6 - 144kx^4 + 80k^2x^3 + 240k^2x^2 - 192k^3x + (64k^4 - 128k^3) >0$ ,para todos los $x$

$3.$ Intenta demostrar que : $Q(k+1,x) >0 $ , para todos los $x$ usando la hipótesis de paso $2$