Mínimo polinomio de $\alpha^2$ dado el polinomio mínimo de a $\alpha$

Question

Dado que el $\alpha$ es una raíz (en el campo de la extensión) del polinomio irreducible $X^4+X^3-X+2\in\mathbb{Q}[X]$, tengo que encontrar el polinomio mínimo de a $\alpha^2$. Estoy pensando en esto por un tiempo, pero no puedo encontrarlo. Necesito algunos consejos. Gracias.

Answer 1

Ha $\alpha^4 + 2 = \alpha - \alpha^3$, y el cuadrado ambos lados da un polinomio de grado $4$ satisfecho por $\alpha^2$. (Todos los poderes de la $\alpha$ que aparecen serán aún). Luego de demostrar que es el polinomio mínimo de a $\alpha^2$.

Answer 2

Tal vez alguien puede venir para arriba con algunas, de forma inteligente, pero aquí está la duro-método de trabajo.

Anote $1, \alpha^2, \alpha^4, \alpha^6, \alpha^8$ en términos de $1, \alpha, \alpha^2, \alpha^3$. Estos cinco elementos deben ser linealmente dependiente, entonces usted encontrará $c_0 1 + c_1 \alpha^2 + c_2 \alpha^4 + c_3 \alpha^6 + c_8 \alpha^8 = 0$ algunos $c_i \in {\mathbb Q}$. Esto le da una 4to grado de expresión en $\alpha^2$ que es igual a 0.

(Nota, si el grado de la extensión de ${\mathbb Q}(\alpha^2) : {\mathbb Q}$ fueron 2, que ya había encontrará $1, \alpha^2, \alpha^4$ a es linealmente dependiente, pero vas a ver directamente que no lo son. El título no puede ser de 3, porque debe ser un divisor de a $[{\mathbb Q}(\alpha) : {\mathbb Q}] = 4$. Así que debe ser de 4.)

Answer 3

Buscar el Dandelin-Graeffe iteración. En resumen, $p(x)\cdot p(-x)$ es un polinomio en a $x^2$, decir $q(x^2)=p(x)\cdot p(-x)$. Así que si $p(\alpha)=0$,$q(\alpha^2)=0$.

Esto da el mismo resultado que la respuesta por Zarrax, sin embargo $q$ no necesita ser irreductible.