Si lanzo una moneda, verticalmente, en la superficie de Marte, ¿volverá a caer en mi mano?

Question

Cuando lanzo una moneda en Marte, ¿es la atmósfera del planeta lo suficientemente rara como para que yo gire con el planeta (a su velocidad angular), pero no la moneda?

Answer 1

Depende de dónde en Marte tiras la moneda y a qué altura la tiras.

En un marco de referencia en rotación, un objeto en movimiento parece estar afectado por un par de fuerzas ficticias: la fuerza centrífuga y la fuerza de Coriolis. Su magnitud está dada por

$$\mathbf{\vec{F_{centrífuga}}}=m\mathbf{\vec\omega\times(\vec\omega\times\vec{r})}\\ \mathbf{\vec{F_{Coriolis}}}=-2m\mathbf{\vec\Omega}\times\mathbf{\vec{v}}$$

La pregunta es: ¿cuándo estas fuerzas son suficientes para mover la moneda "lejos de tu mano"? En otras palabras, ¿con qué velocidad inicial $v$ es el desplazamiento total de la moneda mayor a 10 cm (como una estimación aproximada de cómo podría lucir "de vuelta en tu mano"; obviamente puedes cambiar los números)?

La fuerza centrífuga solo se observa cuando la partícula está rotando a la velocidad del marco de referencia; una vez que la partícula está en caída libre, ya no se mueve junto con el marco de referencia en rotación y la fuerza centrífuga "desaparece". Para un objeto moviéndose perpendicular a la superficie de la Tierra, la fuerza de Coriolis es más fuerte en el ecuador, volviéndose cero en el polo; es una función de la velocidad de la moneda. Calcularemos la expresión como una función de la latitud, reconociendo que será un máximo en el ecuador.

Como suposición simplificadora, asumimos que el cambio en la altura es lo suficientemente pequeño como para ignorar los cambios en la fuerza de gravedad; también ignoramos toda la resistencia atmosférica (especialmente, el viento; si se cree en la escena inicial de "The Martian", puede haber mucho viento en el Planeta Rojo). Finalmente, asumiremos que cualquier velocidad horizontal será pequeña; la ignoramos para calcular la fuerza de Coriolis, pero la integramos para obtener el desplazamiento.

La velocidad vertical está dada por

$$v = v_0 - g\cdot t$$

y el tiempo total tomado es $t_t=\frac{2v_0}{g}$. En cualquier momento, la aceleración de Coriolis es

$$a_C=2\mathbf{\Omega}~v\cos\theta$$

Integrando una vez, obtenemos

$$v_h = \int a\cdot dt \\ = 2\mathbf{\Omega}\cos\theta\int_0^t(v_0-gt)dt\\ = 2\mathbf{\Omega}\cos\theta\left(v_0 t-\frac12 gt^2\right)$$

Y para el desplazamiento

$$x_h = \int v_h dt \\ = 2\mathbf{\Omega}\cos\theta\int_0^t \left(v_0 t-\frac12 gt^2\right)dt\\ = 2\mathbf{\Omega}\cos\theta \left(\frac12 v_0 t^2-\frac16 gt^3\right)$$

Sustituyendo $t = \frac{2v_0}{g}$ obtenemos

$$x_h = 2\mathbf{\Omega}\cos\theta v_0^3\left(\frac{4}{g^2} - \frac{4}{3 g^2}\right)\\ = \frac{16\mathbf{\Omega}\cos\theta v_0^3}{3g^2}$$

El día sidéreo de Marte dura 24 horas, 37 minutos y 22 segundos - entonces $\Omega = 7.088\cdot 10^{-5}/s$ y la aceleración de la gravedad $g = 3.71 m/s^2$. Al sustituir estos valores en la ecuación anterior, encontramos que $x_h = 2.75\cdot 10^{-5}v_0^3 m$, donde la velocidad está en m/s. De esto se deduce que tendrías que lanzar la moneda con una velocidad inicial de aproximadamente 15 m/s para que el efecto de Coriolis sea suficiente para desviar la moneda por 10 cm antes de que vuelva a caer.

En la Tierra, tal lanzamiento resultaría en una moneda que vuela aproximadamente durante 3 segundos, alcanzando una altura de alrededor de 11 m. Es concebible que alguien pudiera lanzar una moneda tan alto, pero nunca lo he visto.

lectura adicional

CONSIDERACIÓN ADICIONAL

Tu definición de "vertical" necesita ser cuidadosamente pensada. Existe un componente Norte-Sur de la "fuerza" centrífuga que es más fuerte en la latitud 45°, y eso hará que una masa en una cuerda cuelgue en una dirección que no es completamente vertical. Si lanzas tu moneda en esa dirección, no observarás una desviación significativa Norte-Sur durante el vuelo, pero si lanzas la moneda "verticalmente" (en una línea recta lejos del centro de Marte), de hecho habrá una pequeña desviación. La magnitud relativa de la fuerza centrífuga y la gravedad se puede calcular a partir de

$$\begin{align}a_c &= \mathbf{\Omega^2}R\sin\theta\cos\theta \\ &= \frac12 \mathbf{\Omega^2}R\\ &= 8.5~\rm{mm/s^2}\end{align}$$

Si lanzas la moneda a 15 m/s, estará en el aire durante aproximadamente 8 segundos. En ese tiempo, la aceleración anterior dará lugar a un desplazamiento de alrededor de 27 cm. Esto muestra que tu definición de "vertical" realmente importa (dependiendo de la latitud - no importa en los polos o el ecuador, pero es significativa en las latitudes intermedias, alcanzando un máximo en la latitud 45°).

Answer 2

La moneda volverá a tu mano tal y como lo haría en la tierra. El efecto de la atmósfera es insignificante en comparación con la inercia de la moneda, por lo que la posición horizontal de la moneda con respecto a tu mano apenas se verá afectada. La rareza de la atmósfera solo afectará al movimiento vertical de la moneda, como la rapidez con la que caerá en tu mano.

Answer 3

Sí, por la simple razón de que no estás lanzando la moneda muy alto (presumiblemente). Parece que piensas que en la Tierra, la resistencia atmosférica es lo que mantiene la moneda "pegada" al marco de referencia del lanzamiento, pero eso realmente no es un factor en absoluto.

Digamos que estás en la Tierra, a nivel del mar, en el ecuador, y lanzas la moneda 3 metros hacia arriba. Despreciando la resistencia, la moneda estará en el aire durante 1.56 segundos. La Tierra está rotando bajo tus pies a 463 m/s, y tiene un radio de 6.37 * 10^6 m. La moneda está ganando una altitud de 3 m, que es 4.71 * 10^-7 radios terrestres, por lo que la velocidad de rotación a esa altura será diferente en la misma proporción, lo que resulta en 0.00022 m/s. Obteniendo un límite superior asumiendo que la moneda pasa todo el tiempo en la altura máxima porque soy perezoso, llegamos a una desviación de 0.34 mm, que es menos que el grosor de la moneda, y menos aún que su diámetro. En cualquier lugar lejos del ecuador o por encima del nivel del mar, el número sería aún más bajo.

Haciendo el mismo experimento en Marte, supondremos que puedes darle a la moneda la misma velocidad inicial, y que estás en el ecuador a la elevación media. La gravedad superficial de Marte es más baja (3.71 m/s^2), por lo que la moneda alcanzará una impresionante altura de 7.92 m y permanecerá en el aire durante 4.14 segundos. Marte está rotando bajo tus pies a 241 m/s (menos que la Tierra porque tiene un menor circunferencia pero una duración del día similar) y tiene un radio de 3.39 * 10^6 m. Entonces, la moneda gana 2.34 * 10^-6 radios marcianos, y la velocidad de rotación a esa altura es diferente en 0.00056 m/s. Haciendo la misma (sobre)estimación como antes, obtenemos 4.14 s * 0.00056 m/s = 2.33 mm. Aproximadamente el grosor de una moneda, pero no mucho más. Ciertamente no lo suficiente como para que te pierdas la mano en el camino hacia abajo.

Básicamente, las alturas con las que estás tratando al lanzar una moneda son simplemente demasiado pequeñas, en comparación con el tamaño de un planeta, para hacer mucha diferencia, con atmósfera o no. Intenta lanzar una bola de cañón 1 km en lugar de eso, y serías más probable de notar un efecto. No he calculado las matemáticas, pero aún no creo que el componente horizontal de la resistencia atmosférica contribuiría mucho en absoluto; la atmósfera sería más probable de hacer una diferencia al reducir la altura máxima alcanzada.

Answer 4

La moneda caerá con seguridad a menos que la hayas lanzado con una velocidad de escape, que depende de la masa del planeta, la masa de la moneda, etc. Incluso si estás dentro del límite de la velocidad de escape, es posible que no llegue a tu mano. Tu observación es correcta en que la fuerza de arrastre juega un papel en su velocidad tangencial, pero para todos los lanzamientos a distancias cortas, la moneda llegará a tu mano independientemente de la rareza atmosférica en comparación con la Tierra.

Answer 5

Creo que sí, como si estuvieras en la Tierra. La razón es que la moneda tiene la misma velocidad que tú y la superficie del planeta Marte, no tiene que ver con la atmósfera.