Giros de curvas sobre los campos de número de

Question

Deje $X$ ser una curva de más de $\overline{\mathbf{Q}}$.

Puedo demostrar que $X$ se puede definir más de un número de campo. (Tomar dos ecuaciones de definición de $X$ $\mathbf{P}^3$ y considerar el número de campo que contiene los coeficientes de esta ecuación.)

Supongamos que $X$ se puede definir más de un campo de número de $K$.

Parece ser un hecho básico de que hay infinitamente muchos no isomorfos de las curvas de $Y$$K$, llamados giros creo, que $Y$ es isomorfo a$X$$\overline{\mathbf{Q}}$. ¿Por qué es esto?

Ahora, esto realmente me molesta un poco. Porque tenía la esperanza de tener sólo un número finito de esos "giros".

¿Cómo puedo garantizar que sólo hay un número finito de giros de una determinada curva de $X/K$?

Permítanme ser más precisos.

Por ejemplo, si yo también quiero que todos los giros de la $X$ $K$ semi-estable de reducción sobre la $K$, es la número finito?

Otro ejemplo, si yo también quiero que todos los giros de la $X$ $K$ tener una buena reducción de más de $K$, es la número finito?

Yo podría estar pidiendo algo que es imposible.

Answer 1

Deje $A$ ser el automorphism grupo de $X$$\overline{K}$. Tenga en cuenta que $\mathrm{Gal}(\overline{K}/K)$ actúa en $A$. Los giros de la $X$ son clasificados por la cohomology grupo acentuados $H^1(\mathrm{Gal}(\overline{K}/K), A)$. Si la acción del grupo de Galois en $A$ es trivial (es decir, todos los automorfismos son definidos sobre los $K$), entonces este es $\mathrm{Hom}(\mathrm{Gal}(\overline{K}/K), A)/\sim$ donde $\sim$ es la relación de equivalencia de la conjugación de los elementos de $A$.

Si el automorphism grupo de $X$ es trivial, esto obligará a las $H^1$ a del mismo modo ser trivial. Yo no conozco a ninguna otra condición que obliga a $H^1$ a un ser finito.