Complejo integral con singularidad esencial en 0

Question

Necesito ayuda para resolver el siguiente problema en el complejo cálculo. Necesito para el cálculo de este real integral: $$ \int_0^{2\pi} e^{\cos{\theta}}\cos(\sin\theta) \,\,\, d\theta $$

Creo que el mejor método es hacer la sustitución de $z=re^{i\theta}$, de la cual tenemos $d\theta = \frac{dz}{iz}$, $\cos\theta=\frac{1}{2}(z+\frac{1}{z})$ y así sucesivamente. La integral se convierte entonces en (sin constantes) $$ \oint_{|z|=r} e^{\frac{z}{2}}e^{\frac{1}{2z}}\frac{z^4-6z^2+1}{z(z^2-1)} \,\,\,dz $$

En este momento soy incapaz de calcular el residuo en la singularidad esencial en 0, porque la manipulación de Laurent de la serie rápidamente se vuelve totalmente complicado y no veo ninguna forma simple de encontrar el final coeficiente de $1/z$. De modo, que es la manera de manejar esta integral? Otro de sustitución?

Answer 1

Las cosas funcionan muy bien, si tomamos un enfoque ligeramente diferente a la de inicio. (El valor de la integral es $2\pi$.) Observe que $$\cos\left(\sin\theta\right)=\text{Re}\left(e^{i\sin\theta}\right).$$ Hence, since $e^{\cos\theta}$ is already real our integral becomes $$\int_{0}^{2\pi}\text{Re}\left(e^{\cos\theta}e^{i\sin\theta}\right)d\theta=\text{Re}\int_{0}^{2\pi}e^{\left(e^{i\theta}\right)}d\theta.$$

Sustituyendo $z=e^{i\theta}$ hemos $$\text{Re}\int_{\mathbb{S}^{1}}\frac{e^{z}}{iz}dz=2\pi i \text{Res}\left(\frac{e^{z}}{iz}\right) = 2\pi$$ since the residue is $\frac{1}{i}$.

Espero que ayude,