Hace $\det(A + B) = \det(A) + \det(B)$ ¿se mantiene?

Question

Bueno, considerando dos $n \times n$ matrices se cumple lo siguiente: $$\det(A+B) = \det(A) + \det(B)$$ ¿Se puede decir algo sobre $\det(A+B)$ ?

Si $A/B$ son simétricos (o incluso de la forma $\lambda I$ ) - ¿se pueden decir entonces las cosas?

Answer 1

Esto no es cierto en general. Porque incluso $n$ , dejemos que $A=-B$ y $\det(A) > 0$ Así que $\det(A+B)=0 < \det(A)+\det(B)$ . Ahora, considere $A=B$ . Tenemos $\det(A+B)=\det(2A)=2^n \det(A) > 2 \det(A)=\det(A)+\det(B)$ para $n>1$ y $\det(A)>0$ . Por lo tanto, cualquiera de las dos desigualdades puede ser válida.

Answer 2

En general, no se puede esperar una fórmula para $\det(A+B)$ . Pero a veces, cuando tienes suerte, puedes usar el Lema del determinante de la matriz que dice lo siguiente:

$$\det(A+uv^T)=(1+v^TA^{-1}u)\det(A),$$

donde $A$ es una matriz invertible y $v^TA^{-1}u$ se interpreta como un escalar. Por lo tanto, si $A$ es invertible, y se puede escribir $B$ como $uv^T$ para dos vectores $u,v$ entonces ya tienes una fórmula. También se puede observar que $\det(uv^T)$ es siempre 0.

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Si está buscando una operación matricial que se comporte bien con respecto a la suma de matrices, busque el rastrear .

Answer 3

No, no existe tal ley. Jugando con matrices simples se obtienen contraejemplos, por ejemplo

$$\det\left(\begin{bmatrix} 1 & 0\\0&0\end{bmatrix}+\begin{bmatrix} 0 & 0\\0&1\end{bmatrix}\right)=\det\begin{bmatrix} 1 & 0\\0&1\end{bmatrix}=1,$$ pero $$\det\begin{bmatrix} 1 & 0\\0&0\end{bmatrix}+ \det\begin{bmatrix} 0 & 0\\0&1\end{bmatrix}=0+0=0.$$

Answer 4

Tome $A=I_n=B$ . Entonces $\det(A+B)=\det(2I_n)=2^n\det(I_n)=2^n$ y $\det(A)+\det(B)=1+1 = 2$ por lo que para $n>1$ tu igualdad no es válida al menos para esta matriz. Y para $n=1$ , ya que el determinante es el único elemento de la matriz, tenemos su igualdad. Así que $\boxed{\left[\forall A,B \in M_n\left(\Bbb R\right), \det(A+B)=\det(A)+\det(B)\right]\iff n = 1}$

Answer 5

Aunque la función determinante no es lineal en general, tengo una forma de construir matrices $A$ y $B$ tal que $\det(A + B) = \det(A) + \det(B)$ , donde ni $A$ ni $B$ contiene una entrada cero y los tres determinantes son distintos de cero:

Supongamos que $A = [a_{ij}]$ y $B = [b_{ij}]$ son matrices reales de 2 x 2. Entonces $\det(A + B) = (a_{11} + b_{11})(a_{22} + b_{22}) - (a_{12} + b_{12})(a_{21} + b_{21})$ y $\det(A) + \det(B) = (a_{11} a_{22} - a_{12} a_{21}) + (b_{11} b_{22} - b_{12} b_{21})$ .

Estas dos expresiones determinantes son iguales si y sólo si

$a_{11} b_{22} + b_{11} a_{22} - a_{12} b_{21} - b_{12} a_{21} =$ $\det \left[ \begin{array}{cc} a_{11} & a_{12}\\ b_{21} & b_{22} \end{array} \right]$ + $\det \left[ \begin{array}{cc} b_{11} & b_{12}\\ a_{21} & a_{22} \end{array} \right]$ = 0.

Por lo tanto, si elegimos cualquier matriz no singular de 2 x 2 $A = [a_{ij}]$ con entradas no nulas y luego crear $B = [b_{ij}]$ tal que $b_{11} = - a_{21}, b_{12} = - a_{22}, b_{21} = a_{11},$ y $b_{22} = a_{12}$ Hemos resuelto nuestro problema. Por ejemplo, si tomamos $$A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix} \quad \text{and}\quad B = \begin{bmatrix} -3 & -4 \\ 1 & 2\end{bmatrix} ,$$

entonces $\det(A) = -2, \det(B) = -2,$ y $\det(A + B) = -4$ según sea necesario.