Pregunta en la prueba que cerró subconjunto de un espacio métrico compacto es compacto

Question

La proposición. Si $K$ es un espacio métrico compacto, $F \subset K$, e $F$ está cerrada, $F$ es compacto.

Prueba. Supongamos $F$ es un subconjunto cerrado del conjunto compacto $K$. Si $\mathcal{G} = \{G_\alpha\}$ es una cubierta abierta de a$F$, $\mathcal{G}' = \mathcal{G} \cup \{F^c\}$ será una cubierta abierta de a $K$. Estamos dado que el $K$ es compacto, así que vamos a $\mathcal{H}$ ser finito subcover de $\mathcal{G}'$$K$. Si $F^c$ es uno de los conjuntos en $\mathcal{H}$, omitirlo. El resultado finito subcover de $\mathcal{G}$ será una cubierta abierta de a $F$.

Tengo una pregunta. Así que entiendo que podemos tirar de $F^c$, como es disjunta de a $F$. Pero, ¿cómo sabemos que un número finito de subcover de $\mathcal{G}' = \mathcal{G} \cup \{F^c\}$ (que para todos los fines y las intenciones, considera a $\mathcal{G}$) $K$ es en realidad una cubierta abierta de a $F$? ¿Cómo sabemos que no falta ninguna parte de $F$, es decir, hay una parte de $F$ que no ha cubierto?

Answer 1

Básicamente lo que esta prueba no se demuestra que dado un abierto de la cubierta $U$$F$, podemos extender $U$ para cubrir todos los de $K$ mediante la adición en el conjunto abierto $F^c$ (esto es posible desde la $F$ es cerrado). A continuación, ya que esta nueva apertura de la tapa cubre todos los de $K$, debe tener un número finito de subcover por la compacidad, la llamada se $U' \subseteq U \cup \left\{F^c \right\}$. A continuación, $U'$ cubre $F$ desde $F \subseteq K$, y podemos lanzar $F^c$ para obtener una cubierta abierta de a $F$ que es un finito subcover de $U$. Desde $U$ fue arbitraria, la reivindicación de la siguiente manera.

Tenga en cuenta que no utilizamos nada de particular, las propiedades de los espacios métricos aquí, esta realidad se sostiene en cualquier topológicos compactos espacio de $K$.

Answer 2

Esto se deduce del hecho de $F \subset K$.

En otras palabras, si $\mathcal{G}$ es una cubierta abierta de a$K$, $$K \subset \bigcup_{\alpha\in A} G_{\alpha} $$

y por lo tanto $\mathcal{G}$ debe ser también una cubierta abierta de a $F$, desde $$F \subset K, \quad K \subset \bigcup_{\alpha\in A} G_{\alpha} $$ $$\implies F \subset \bigcup_{\alpha\in A} G_{\alpha}$$ En otras palabras, el subconjunto de inclusión es transitiva.