Primero que todo, permítanme decir que ya bien definido nociones de subobjetos y el cociente de los objetos en la categoría de teoría. Voy a estado aquí por referencia:
Definición. Un subobjeto de un objeto $$ en una categoría $\mathbf{C}$ es una clase de equivalencia de monomorphisms con codominio $$, donde podemos identificar dos monomorphisms $m : B \a$, $m' : B' \$ como equivalente sólo si existe un isomorfismo $f : B \B'$ tales que $m = m' \circ f$.
Definición. Un cociente objeto de un objeto $$ en una categoría $\mathbf{C}$ es un subobjeto de $Un$ en la frente categoría $\mathbf{C}^{\textrm{op}}$. Explícitamente, es una clase de equivalencia de epimorphisms con dominio de $A$, donde podemos identificar dos epimorphisms $e : \a B$ e $e' : A \B'$ como equivalente sólo si existe un isomorfismo $f : B' \a B$ tales que $e = f \circ e'$.
Pero vamos a ver por medio de ejemplos de que estos no son necesariamente lo que queremos ser.
Ejemplo. En la categoría de espacios topológicos, subespacios son subobjetos. Pero también lo son otras cosas. De hecho, si $B$ tiene una más fina que la topología de $A$, entonces $B$ es también un subobjeto de $A$.
Ejemplo. En la categoría de monoids, $\mathbb{Z}$ es un cociente de $\mathbb{N}$, ya que la inclusión natural de mapa de $\mathbb{N} \hookrightarrow \mathbb{Z}$ es épico.
El problema es que las nociones de monomorphism y epimorphism son un poco demasiado general para la captura de las propiedades que queremos. Así que deberíamos empezar por definir algunos 'más fuerte' nociones de mono/epi.
Definición. Un regular monomorphism es un monomorphism que es un ecualizador de algún par de paralelas morfismos. Un regular epimorphism es un coequaliser de algún par de paralelas morfismos.
Ejemplo. El núcleo de un grupo/anillo/módulo/etc. homomorphism es un habitual monomorphism: de hecho, $\ker f$ es el ecualizador de $f$ y el cero de morfismos.
Ejemplo. Por el contrario, en un abelian categoría, cada monomorphism es un núcleo: de hecho, el gol del empate de $f, g : A \B$ es, precisamente, lo mismo que $\ker (f-g)$, por la observación anterior.
Ejemplo. En la categoría de espacios topológicos, la inclusión de un subespacio $B \hookrightarrow$ es un habitual monomorphism: es el gol del empate de su característica de mapa $A \2$ (donde $2$ es dada la topología indiscreta) y una constante mapa. Por el contrario, cada monomorphism es (isomorfo a) la inclusión de un subespacio.
Esto sugiere que estamos en el camino correcto. Veamos ahora el epimorphisms.
Ejemplo. El coimage de un grupo/anillo/módulo/etc. homomorphism es un habitual epimorphism: de hecho, $\operatorname{coim} f$ es el coequaliser de $\ker f$ y el cero de morfismos. En particular, la proyección de los mapas en el cociente de los grupos/anillos/modules/etc. son regulares epimorphisms. Lo contrario es cierto en abelian categorías por un argumento similar al anterior.
Ejemplo. Vamos $ / R$ ser el cociente de un espacio topológico $A$ por una relación de equivalencia $R$. A continuación, el mapa de proyección de $\pi : \a / R$ es un habitual epimorphism. Recordemos que $R$ es un subconjunto del producto cartesiano $A \times$; así que vamos a tomar $A \times$ con la inducida por el producto de la topología y de topologise $R$ con la topología de subespacio. A continuación, hemos cosificado $R$ como un objeto en $\textbf{Top}$. Deje de $p_1, p_2 : R \$ ser las proyecciones. No es difícil comprobar que $\pi : \a / R$ es el coequaliser de $p_1$ y $p_2$, por lo que es de hecho una regular epimorphism.
Por desgracia, resulta que en la categoría de grupos, monomorphisms y regular monomorphisms son la misma cosa. (Para una prueba, ver aquí.) Así que tal vez regular monomorphisms no son un ajuste perfecto para lo que estamos buscando. Sin embargo, es lo suficientemente agradable categorías, tenemos la siguiente analógica del primer teorema de isomorfismo:
Teorema. En cualquier categoría regular, (en el dominio) la imagen de un morfismos es isomorfo (el codominio) de su regular coimage (el coequaliser de su núcleo par).
Ejemplos. Cualquier abelian categoría es regular, como cualquier semiabelian categoría y cualquier topos.
Así que creo que este es probablemente el nivel adecuado de generalidad, a pesar de que no cubra la categoría de grupos o de la categoría de espacios topológicos. (De hecho, la conclusión del teorema anterior es descaradamente falso en la categoría de espacios topológicos: intuitivamente, la regular coimage es topologised por el dominio, mientras que la imagen es topologised por el codominio; así, por ejemplo, el mapa de un espacio discreto a una indiscreta espacio no isomorfos de la imagen y regular coimage.)
