Según schmidt descomposición cualquier estado puro pertenecientes a un sistema compuesto de $AB$ puede ser escrito como $|\psi\rangle = \sum_i \lambda_i |i_A\rangle |i_B\rangle$ donde $\lambda_i$ son no negativos de los números reales y $|i_A\rangle |$ $|i_B\rangle$ son ortonormales de base para el sistema de $A$ $B$ respectivamente. Pero en un ejercicio ( ejercicio 2.77 ) de Nielsen y Chuang pide a mostrar un ejemplo de un sistema compuesto de $ABC$ donde el estado puro pertenecientes a la misma no puede ser escrito como $|\psi\rangle = \sum_i \lambda_i |i_A\rangle |i_B\rangle |i_C\rangle$. Si no estoy equivocado, a continuación, $\frac{1}{\sqrt{2}}(|000\rangle+|011\rangle)$ es un ejemplo. Pero, ¿hay alguna físico significado detrás de lo que schmidt descomposición tiene para los dos componentes del sistema compuesto sólo o es sólo un resultado matemático ? Y es la ausencia de schmidt descomposición para mayor componente de los sistemas compuestos relacionados con el concepto de enredo ?
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Este es un resultado matemático. El Schmidt de descomposición dice que hay bases para las dos partes $A$ $B$ tal que
$$ \sum_{ij} \lambda_{ij} |i_{A}\rangle |j_{B}\rangle = \sum_k \nu_k |\tilde{k}_A\rangle |\tilde{k}_B\rangle $$
con algunas bases ortonormales $|i_A\rangle,|\tilde{i}_A\rangle, |i_B\rangle, |\tilde{i}_B\rangle$. Si usted compara los dos lados y considerar el hecho de que ortonormales bases están relacionados por una matriz unitaria, esto te llevará a la descomposición de valor singular. Esto significa que el Schmidt descomposición es una (más bien trivial) corolario a la descomposición de valor singular.
Ahora, no es un resultado matemático que te dice que esto no es posible en las dimensiones superiores (puedes remediar esto a un cierto grado, como se señaló en los comentarios). Lamentablemente, no sé agradable e intuitiva argumento de por qué este no es el caso (se puede trabajar con Lagrange se multiplica y ver que no es posible, sin embargo).
¿Cuáles son las consecuencias físicas? Así, en un sentido, esto tendrá consecuencias en casi todas partes donde usamos el Schmidt descomposición. Un ejemplo muy llamativo es estado puro LOCC-interconvertibility. En otras palabras: Vamos a $|\psi\rangle$ $|\phi\rangle$ dos bipartito estados puros. Podemos encontrar una de las transformaciones con las operaciones locales de los clásicos y de la comunicación de$|\psi\rangle$$|\phi\rangle$? En el bipartito caso, podemos, si y sólo si el Schmidt coeficientes de $|\phi\rangle$ majorize los de $|\psi\rangle$. Esto ya fue demostrado en el último milenio (arXiv).
Tener una superficial mirada a la prueba, a mí me parece que si tuviéramos un Schmidt descomposición para arbitrario multipartito sistemas, esencialmente la misma prueba debe contener (siéntase libre de confirmar esta sospecha). Este sería, en particular, implica que a partir de un estado el "máximo enredados estado", podríamos llegar a todos los demás, que es conocido por ser malo para multipartito sistemas. En cualquier caso, si hay consecuencias físicas, esto es, donde me esperaría a ser, al menos, de: Estado de interconversión con LOCC.
